Упр.9.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.38. Найдите угол, образованный касательной к графику функции у = g(x) в точке с абсциссой х0 с положительным направлением оси абсцисс: а) g(x) = 2/3 корень 4 — 3х, х0 = 1/3; б) g(x) = -3(корень 2 + х)-1/3, х0 =1- корень 2.

Угол наклона касательной к оси абсцисс находим по формуле $$\tan \alpha = g'(x_0).$$

1. $$g(x)=\frac{2}{3}\sqrt{4-3x}, \quad x_0=\frac13.$$

   Найдём производную:

   $$ g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{-3}{2\sqrt{4-3x}}=-\frac{1}{\sqrt{4-3x}}. $$

   Подставим $$x_0=\frac13$$:

   $$ g’\!\left(\frac13\right)=-\frac{1}{\sqrt{4-3\cdot \frac13}} =-\frac{1}{\sqrt3} =-\frac{\sqrt3}{3}. $$

   Тогда

   $$\tan \alpha=-\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как угол $$\alpha$$ лежит между $$0$$ и $$\pi$$, получаем:

   $$\alpha=\pi-\arctan \frac{\sqrt3}{3}=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.$$

2. $$g(x)=-3(\sqrt2+x)^{-1/3}, \quad x_0=1-\sqrt2.$$

   Найдём производную:

   $$ g'(x)=-3\cdot \left(-\frac13\right)(\sqrt2+x)^{-4/3} =(\sqrt2+x)^{-4/3}. $$

   Подставим $$x_0=1-\sqrt2$$:

   $$ g'(1-\sqrt2)=(\sqrt2+1-\sqrt2)^{-4/3}=1^{-4/3}=1. $$

   Следовательно,

   $$\tan \alpha=1,$$

   откуда

   $$\alpha=\arctan 1=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{5\pi}{6}$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.