Упр.9.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.37. Решите неравенство f'(x) > 0, если: a) f(x) =3/5х5/3 + 3/2х4/3; б) f(x) =0,4х5/4-8/3х3/4.

а) $$f(x)=\frac{3}{5}x^{5/3}+\frac{3}{2}x^{4/3}.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}x^{2/3}+\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}x^{1/3} = x^{2/3}+2x^{1/3}. $$

Решим неравенство:

$$ x^{2/3}+2x^{1/3}>0. $$

Вынесем общий множитель:

$$ x^{1/3}(x^{1/3}+2)>0. $$

Обозначим $$t=x^{1/3}$$. Тогда

$$ t(t+2)>0. $$

Отсюда

$$ t<-2 \quad \text{или} \quad t>0. $$

Возвращаясь к $$x$$, получаем:

$$ x<-8 \quad \text{или} \quad x>0. $$

Но область определения функции: $$x\in\mathbb{R}$$, поэтому ответ:

$$ x\in(-\infty,-8)\cup(0,+\infty). $$

б) $$f(x)=0{,}4x^{5/4}-\frac{8}{3}x^{3/4}.$$

Найдём производную:

$$ f'(x)=0{,}4\cdot\frac{5}{4}x^{1/4}-\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{4}x^{-1/4} =\frac{1}{2}x^{1/4}-2x^{-1/4}. $$

Решим неравенство:

$$ \frac{1}{2}x^{1/4}-2x^{-1/4}>0. $$

Так как $$x^{-1/4}=\frac{1}{x^{1/4}}$$, положим $$t=x^{1/4}$$, где $$t>0$$. Тогда

$$ \frac{1}{2}t-\frac{2}{t}>0. $$

Умножим на $$2t>0$$:

$$ t^2-4>0. $$

Следовательно,

$$ (t-2)(t+2)>0. $$

С учётом $$t>0$$ получаем $$t>2$$, то есть

$$ x^{1/4}>2 \quad \Rightarrow \quad x>16. $$

Область определения: $$x>0$$, поэтому окончательно:

$$ x\in(16,+\infty). $$

Ответ

а) $$(-\infty,-8)\cup(0,+\infty)$$; б) $$ (16,+\infty) $$.