Упр.9.36 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.36. Решите уравнение g'(x) = 0, если: а) g(x) = 2 корень x — х; б) g(x) = 2/3х3/2 — —12/5х5/4 + 2х; в) g(x) = -3/4×4/3 — 2х; г) g(x) = 3/4 х4/3 — 6/7х7/6 — 2х.

Подробный ответ

$$g(x)=2\sqrt{x}-x$$
$$g'(x)=2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}-1=\frac{1}{\sqrt{x}}-1$$
Решим уравнение:
$$\frac{1}{\sqrt{x}}-1=0$$
$$\frac{1}{\sqrt{x}}=1$$
$$\sqrt{x}=1$$
$$x=1$$
$$g(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{12}{5}x^{5/4}+2x$$
$$g'(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}x^{1/2}-\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{4}x^{1/4}+2=\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2$$
Решим уравнение:
$$\sqrt{x}-3\sqrt[4]{x}+2=0$$
Пусть $$t=\sqrt[4]{x}$$, тогда $$\sqrt{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-3t+2=0$$
$$t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0$$
$$t=1 \text{ или } t=2$$
Тогда:
$$\sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1$$
$$\sqrt[4]{x}=2 \Rightarrow x=16$$
$$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-2x$$
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-2=\sqrt[3]{x}-2$$
Решим уравнение:
$$\sqrt[3]{x}-2=0$$
$$\sqrt[3]{x}=2$$
$$x=8$$
$$g(x)=\frac{3}{4}x^{4/3}-\frac{6}{7}x^{7/6}-2x$$
$$g'(x)=\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}x^{1/3}-\frac{6}{7}\cdot \frac{7}{6}x^{1/6}-2=\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2$$
Решим уравнение:
$$\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{x}-2=0$$
Пусть $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
$$t^2-t-2=0$$
$$t^2-t-2=(t-2)(t+1)=0$$
$$t=2 \text{ или } t=-1$$
Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0$$, подходит только $$t=2$$.
$$\sqrt[6]{x}=2 \Rightarrow x=64$$