Упр.9.35 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.35. Найдите скорость изменения функции у = h(x;) в точке с абсциссой х0: а) h(x) = х7/3 — (1 — 3x)-1 X0 = 0; б) h(x) = корень 4 степени sin 2x, x0 = Пи/12; в) h(x) = (3 — x-1)2, x0 = -1; г) h(x)= (cos(x18 — 3 корень 3 степени x7 + 0,25Пи + Пиx))/Пи, x0= 0.

1. а) $$h(x)=x^{\frac{7}{3}}-(1-3x)^{-1}, \quad x_0=0.$$

   Найдём производную:

   $$h'(x)=\frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}}-(1-3x)^{-2}\cdot(-3)=\frac{7}{3}x^{\frac{4}{3}}+3(1-3x)^{-2}.$$

   Тогда

   $$h'(0)=\frac{7}{3}\cdot 0^{\frac{4}{3}}+3\cdot(1-0)^{-2}=0+3=3.$$

2. б) $$h(x)=\sqrt[4]{2\sin 2x}, \quad x_0=\frac{\pi}{12}.$$

   Представим функцию в степенном виде:

   $$h(x)=(2\sin 2x)^{\frac14}.$$

   Тогда

   $$h'(x)=\frac14(2\sin 2x)^{-\frac34}\cdot(2\sin 2x)’=\frac14(2\sin 2x)^{-\frac34}\cdot 4\cos 2x.$$

   Следовательно,

   $$h'(x)=\frac{\cos 2x}{\sqrt[4]{(2\sin 2x)^3}}.$$

   Подставим $$x=\frac{\pi}{12}$$:

   $$h’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\cos\frac{\pi}{6}}{\sqrt[4]{\left(2\sin\frac{\pi}{6}\right)^3}}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\sqrt[4]{1^3}}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. в) $$h(x)=(3-x^{-1})^2, \quad x_0=-1.$$

   По правилу цепочки:

   $$h'(x)=2(3-x^{-1})\cdot(-x^{-1})’ = 2(3-x^{-1})\cdot x^{-2}.$$

   Тогда

   $$h'(-1)=2\left(3-(-1)^{-1}\right)\cdot(-1)^{-2}=2(3+1)\cdot 1=8.$$

4. г) $$h(x)=\frac{\cos\!\left(x^{18}-3\sqrt[3]{x^7}+0{,}25\pi+\pi x\right)}{\pi}, \quad x_0=0.$$

   Так как $$\pi$$ — постоянная, то

   $$h'(x)=-\frac{1}{\pi}\sin\!\left(x^{18}-3\sqrt[3]{x^7}+0{,}25\pi+\pi x\right)\cdot\left(18x^{17}-3\cdot\frac{7}{3}x^{\frac43}+\pi\right).$$

   Подставим $$x=0$$:

   $$h'(0)=-\frac{1}{\pi}\sin\frac{\pi}{4}\cdot \pi=-\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

Ответ

а) $$3$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$8$$; г) $$-\frac{\sqrt2}{2}$$.