Упр.9.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.34. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х0: а) f(х) = 4 — х-3/4, x0 = 1; б) f(x) = 12х-1/2 — х, X0 = 9; в) f(x) = 2х2/3 — 1, х0 = 8; г) f(x) = x-3 + 6 корень х, x0 = 1.
а) $$f(x)=4-x^{-3/4}, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=0-\left(-\frac{3}{4}x^{-7/4}\right)=\frac{3}{4x^{7/4}}.$$
Тогда
$$k=f'(1)=\frac{3}{4\cdot 1^{7/4}}=\frac{3}{4}.$$
б) $$f(x)=12x^{-1/2}-x, \quad x_0=9.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=12\cdot\left(-\frac{1}{2}x^{-3/2}\right)-1=-\frac{6}{x^{3/2}}-1.$$
Тогда
$$k=f'(9)=-\frac{6}{9^{3/2}}-1=-\frac{6}{27}-1=-\frac{2}{9}-1=-\frac{11}{9}.$$
в) $$f(x)=2x^{2/3}-1, \quad x_0=8.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cdot\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{4}{3\sqrt[3]{x}}.$$
Тогда
$$k=f'(8)=\frac{4}{3\sqrt[3]{8}}=\frac{4}{3\cdot 2}=\frac{2}{3}.$$
г) $$f(x)=x^{-3}+6\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=-3x^{-4}+6\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=-\frac{3}{x^4}+\frac{3}{\sqrt{x}}.$$
Тогда
$$k=f'(1)=-\frac{3}{1^4}+\frac{3}{\sqrt{1}}=-3+3=0.$$
Ответ
а) $$\frac{3}{4}$$; б) $$-\frac{11}{9}$$; в) $$\frac{2}{3}$$; г) $$0$$.
