Упр.9.33 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.33. Найдите значение производной функции у = g(x) в заданной точке х0: а) g(x) = х3 — 3 корень x, х0 = 1; б) g(х) = корень 3 степени 3х — 1, х0 =2/3; в) g(x) = х-1 + х-2, х0 = 1; г) g(x) = 1/3(5 — 2х)-3, х0 = 2.
$$g(x)=x^3-3\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$
$$g'(x)=3x^2-3\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}=3x^2-\frac{3}{2\sqrt{x}}.$$
$$g'(1)=3\cdot 1^2-\frac{3}{2\sqrt{1}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.$$
$$g(x)=\sqrt[3]{3x-1}, \quad x_0=\frac{2}{3}.$$
$$g'(x)=\frac{1}{3}(3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot 3=(3x-1)^{-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{(3x-1)^2}}.$$
$$g’\!\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{(3\cdot \frac{2}{3}-1)^2}}=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}}=1.$$
$$g(x)=x^{-1}+x^{-2}, \quad x_0=1.$$
$$g'(x)=-x^{-2}-2x^{-3}=-\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}.$$
$$g'(1)=-\frac{1}{1^2}-\frac{2}{1^3}=-1-2=-3.$$
$$g(x)=\frac{1}{3}(5-2x)^{-3}, \quad x_0=2.$$
$$g'(x)=\frac{1}{3}\cdot (-3)(5-2x)^{-4}\cdot (-2)=2(5-2x)^{-4}=\frac{2}{(5-2x)^4}.$$
$$g'(2)=\frac{2}{(5-2\cdot 2)^4}=\frac{2}{1^4}=2.$$
Ответ
а) $$\frac{3}{2}$$; б) $$1$$; в) $$-3$$; г) $$2$$.
