Упр.9.31 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.31. а) У = (х2 — 1)/ (корень x + 1); в)( х3 — 1 )/(корень x -1); б) У = (X + 1)/(корень 3 степени x + 1); Г) У = (x+1)/(x2/3 — x1/3 + 1).

1. а) $$y=\frac{x^2-1}{\sqrt{x}+1}$$

   Разложим числитель на множители:

   $$x^2-1=(x-1)(x+1)$$

   Так как $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1),$$ то

   $$y=\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}+1}=(\sqrt{x}-1)(x+1).$$

   Раскроем скобки:

   $$y=x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1=x^{\frac32}+x^{\frac12}-x-1.$$

   Тогда

   $$y’=\frac32x^{\frac12}+\frac12x^{-\frac12}-1=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1.$$

2. б) $$y=\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}$$

   Используем формулу суммы кубов:

   $$x+1=(\sqrt[3]{x}+1)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1\right).$$

   Тогда

   $$y=\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1=x^{\frac23}-x^{\frac13}+1.$$

   Находим производную:

   $$y’=\frac23x^{-\frac13}-\frac13x^{-\frac23}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}.$$

3. в) $$y=\frac{x^3-1}{\sqrt{x}-1}$$

   Разложим числитель:

   $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1).$$

   Так как $$x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1),$$ получаем

   $$y=(\sqrt{x}+1)(x^2+x+1).$$

   Раскроем скобки:

   $$y=x^2\sqrt{x}+x\sqrt{x}+\sqrt{x}+x^2+x+1=x^{\frac52}+x^{\frac32}+x^{\frac12}+x^2+x+1.$$

   Тогда

   $$y’=\frac52x^{\frac32}+\frac32x^{\frac12}+\frac12x^{-\frac12}+2x+1=\frac{5x\sqrt{x}}{2}+\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x+1.$$

4. г) $$y=\frac{x+1}{x^{\frac23}-x^{\frac13}+1}$$

   Положим $$t=x^{\frac13}.$$ Тогда $$x=t^3,$$ и

   $$x+1=t^3+1=(t+1)(t^2-t+1).$$

   Следовательно,

   $$y=\frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t^2-t+1}=t+1=x^{\frac13}+1.$$

   Теперь

   $$y’=\frac13x^{-\frac23}=\frac{1}{3x^{\frac23}}.$$

Ответ

а) $$y’=\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}-1;$$
б) $$y’=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}};$$
в) $$y’=\frac{5x\sqrt{x}}{2}+\frac{3\sqrt{x}}{2}+\frac{1}{2\sqrt{x}}+2x+1;$$
г) $$y’=\frac{1}{3x^{\frac23}}.$$