Упр.9.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.30. а) у = (5х3 — 3х2 + 15х — 7)/x корень x; б) у = (корень 3 степени x-1 2х)(2 sin 2х + cos х); в) у = (7х8 — 5х4 + 12х — корень x — 2)/корень 3 степени x; г) у = ( корень x- 1/корень x)* tg (3х — 5).

1. а) $$y=\frac{5x^3-3x^2+15x-7}{x\sqrt{x}}$$

   Представим функцию в виде степеней:

   $$y=5x^{3-\frac32}-3x^{2-\frac32}+15x^{1-\frac32}-7x^{-\frac32}=5x^{\frac32}-3x^{\frac12}+15x^{-\frac12}-7x^{-\frac32}.$$

   Тогда

   $$y’=\frac{15}{2}x^{\frac12}-\frac32x^{-\frac12}-\frac{15}{2}x^{-\frac32}+\frac{21}{2}x^{-\frac52}.$$

   Запишем ответ в виде дробей:

   $$y’=\frac{15\sqrt{x}}{2}-\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{15}{2x\sqrt{x}}+\frac{21}{2x^2\sqrt{x}}.$$

2. б) $$y=\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(2\sin 2x+\cos x)$$

   Используем правило производной произведения:

   $$y’=\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)'(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(2\sin 2x+\cos x)’.$$

   Находим производные множителей:

   $$\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)’=\left(x^{-\frac13}\right)’-2=-\frac13x^{-\frac43}-2,$$

   $$\left(2\sin 2x+\cos x\right)’=4\cos 2x-\sin x.$$

   Тогда

   $$y’=\left(-\frac13x^{-\frac43}-2\right)(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(4\cos 2x-\sin x).$$

3. в) $$y=\frac{7x^8-5x^4+12x-\sqrt{x}-2}{\sqrt[3]{x}}$$

   Представим функцию в виде степеней:

   $$y=7x^{\frac{23}{3}}-5x^{\frac{11}{3}}+12x^{\frac23}-x^{\frac16}-2x^{-\frac13}.$$

   Тогда

   $$y’= \frac{161}{3}x^{\frac{20}{3}}-\frac{55}{3}x^{\frac83}+8x^{-\frac13}-\frac16x^{-\frac56}+\frac23x^{-\frac43}.$$

   В дробном виде:

   $$y’=\frac{161\sqrt[3]{x^{20}}}{3}-\frac{55\sqrt[3]{x^8}}{3}+\frac{8}{\sqrt[3]{x}}-\frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}+\frac{2}{3\sqrt[3]{x^4}}.$$

4. г) $$y=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\tg(3x-5)$$

   По правилу производной произведения:

   $$y’=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)’\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\tg(3x-5)\right)’.$$

   Находим производные:

   $$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x^{3/2}},$$

   $$\left(\tg(3x-5)\right)’=\frac{3}{\cos^2(3x-5)}.$$

   Следовательно,

   $$y’=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x^{3/2}}\right)\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\frac{3}{\cos^2(3x-5)}.$$

Ответ

а) $$y’=\frac{15\sqrt{x}}{2}-\frac{3}{2\sqrt{x}}-\frac{15}{2x\sqrt{x}}+\frac{21}{2x^2\sqrt{x}};$$
б) $$y’=\left(-\frac13x^{-\frac43}-2\right)(2\sin 2x+\cos x)+\left(\sqrt[3]{x^{-1}}-2x\right)(4\cos 2x-\sin x);$$
в) $$y’=\frac{161}{3}x^{\frac{20}{3}}-\frac{55}{3}x^{\frac83}+8x^{-\frac13}-\frac16x^{-\frac56}+\frac23x^{-\frac43};$$
г) $$y’=\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2x^{3/2}}\right)\tg(3x-5)+\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\frac{3}{\cos^2(3x-5)}.$$