Упр.9.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.29 а)y= (x3-5)/((корень 3 степени x) + 1); б) y= (3 корень x — 7)/(x4+1).
Найдём производные по правилу производной частного:
$$ \left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}. $$
$$y=\frac{x^3-5}{\sqrt[3]{x}+1}.$$
Пусть $$u=x^3-5,$$ $$v=\sqrt[3]{x}+1=x^{1/3}+1.$$ Тогда
$$u’=3x^2,$$
$$v’=\frac13x^{-2/3}.$$Подставим в формулу:
$$ y’=\frac{3x^2(\sqrt[3]{x}+1)-(x^3-5)\cdot \frac13x^{-2/3}}{(\sqrt[3]{x}+1)^2}. $$Приведём к общему виду:
$$ y’=\frac{9x^{8/3}+9x^2-x^{7/3}+\frac53x^{-2/3}}{3(\sqrt[3]{x}+1)^2}. $$Удобно записать ответ в виде:
$$ y’=\frac{8x^3+9\sqrt[3]{x^8}+5}{3\sqrt[3]{x^2}\,(\sqrt[3]{x}+1)^2}. $$$$y=\frac{3\sqrt{x}-7}{x^4+1}.$$
Пусть $$u=3\sqrt{x}-7,$$ $$v=x^4+1.$$ Тогда
$$u’=\frac{3}{2\sqrt{x}},$$
$$v’=4x^3.$$По формуле производной частного:
$$ y’=\frac{\frac{3}{2\sqrt{x}}(x^4+1)-(3\sqrt{x}-7)\cdot 4x^3}{(x^4+1)^2}. $$Приведём к общему знаменателю:
$$ y’=\frac{3x^4+3-8x^3\sqrt{x}(3\sqrt{x}-7)}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}. $$Раскроем скобки:
$$ y’=\frac{3x^4+3-24x^4+56x^3\sqrt{x}}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2} =\frac{56x^3\sqrt{x}-21x^4+3}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}. $$
Ответ
$$ \text{а) } y’=\frac{8x^3+9\sqrt[3]{x^8}+5}{3\sqrt[3]{x^2}\,(\sqrt[3]{x}+1)^2},\qquad \text{б) } y’=\frac{56x^3\sqrt{x}-21x^4+3}{2\sqrt{x}(x^4+1)^2}. $$
