Упр.9.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.20 Решите графически неравенство: а) x1/2 < 6-x; б)x3/2 больше или равно x-2;в)x-1/4 меньше или равно x3;г) x2/3 > x-4.
а) Рассмотрим функции $$y=x^{\frac12}$$ и $$y=6-x$$. Их графики пересекаются в точке, где
$$x^{\frac12}=6-x.$$
Проверим точку пересечения: при $$x=4$$ получаем $$\sqrt{4}=2$$ и $$6-4=2$$. Значит, точка пересечения — $$x=4$$.
Так как $$x^{\frac12}$$ определена при $$x\ge 0$$, а на промежутке от $$0$$ до $$4$$ график $$y=x^{\frac12}$$ расположен ниже графика $$y=6-x$$, то
$$x\in[0;4).$$
б) Сравним функции $$y=x^{\frac32}$$ и $$y=x^{-2}=\frac1{x^2}$$.
Область определения: $$x>0$$, так как вторая функция не определена при $$x=0$$.
Найдём точку пересечения:
$$x^{\frac32}=x^{-2}.$$
При $$x>0$$ умножим обе части на $$x^2$$:
$$x^{\frac72}=1.$$
Отсюда $$x=1$$.
При $$x\ge 1$$ график $$y=x^{\frac32}$$ выше графика $$y=x^{-2}$$, значит
$$x\in[1;+\infty).$$
в) Сравним функции $$y=x^{-\frac14}$$ и $$y=x^3$$.
Область определения первой функции: $$x>0$$.
Найдём точку пересечения:
$$x^{-\frac14}=x^3.$$
При $$x>0$$ умножим обе части на $$x^{\frac14}$$:
$$1=x^{\frac{13}{4}}.$$
Отсюда $$x=1$$.
При $$x\ge 1$$ выполняется неравенство $$x^{-\frac14}\le x^3$$, значит
$$x\in[1;+\infty).$$
г) Сравним функции $$y=x^{\frac23}$$ и $$y=x-4$$.
Точка пересечения находится из уравнения
$$x^{\frac23}=x-4.$$
Проверим подходящее значение: при $$x=8$$ имеем $$8^{\frac23}=4$$ и $$8-4=4$$.
Значит, графики пересекаются при $$x=8$$. На промежутке от $$0$$ до $$8$$ график $$y=x^{\frac23}$$ расположен выше графика $$y=x-4$$, поэтому
$$x\in[0;8).$$
Ответ
а) $$x\in[0;4)$$; б) $$x\in[1;+\infty)$$; в) $$x\in[1;+\infty)$$; г) $$x\in[0;8)$$.
