Упр.9.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.19 а)y=система б)y=система x2,если x меньше или равно 0, 2,если x < -1, x2/3, если 0 < x меньше или равно 1; 2x2,если -1 меньше или равно x меньше или равно 0; 1/x,если x > 1; x3/2, если x > 0.

а) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x^2, & x\le 0,\\ x^{\frac23}, & 0<x\le 1,\\ \frac1x, & x>1. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1) При $$x\le 0$$ имеем параболу $$y=x^2$$. Она проходит через точку $$\left(0;0\right)$$ и убывает на луче $$(-\infty;0]$$.

2) При $$0<x\le 1$$ имеем график функции $$y=x^{\frac23}$$. Он возрастает от точки $$\left(0;0\right)$$ до точки $$\left(1;1\right)$$.

3) При $$x>1$$ имеем гиперболу $$y=\frac1x$$. На этом промежутке она убывает и проходит через точки $$\left(1;1\right)$$, $$\left(2;\frac12\right)$$.

Объединяя эти части, получаем непрерывный график, составленный из трёх кусков.

Найдём основные свойства:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=[0;+\infty). $$

Функция ни чётная, ни нечётная. Возрастает на $$[0;1]$$, убывает на лучах $$(-\infty;0]$$ и $$[1;+\infty)$$. Наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=0$$, наибольшего значения нет.

б) Функция задана так:

$$ y= \begin{cases} 2, & x<-1,\\ 2x^2, & -1\le x\le 0,\\ x^{\frac32}, & x>0. \end{cases} $$

Рассмотрим части графика.

1) При $$x<-1$$ график — горизонтальная прямая $$y=2$$.

2) При $$-1\le x\le 0$$ график — часть параболы $$y=2x^2$$. Она проходит через точки $$\left(-1;2\right)$$ и $$\left(0;0\right)$$.

3) При $$x>0$$ график — функция $$y=x^{\frac32}$$, возрастающая и проходящая через точки $$\left(1;1\right)$$, $$\left(4;8\right)$$.

Итак, график состоит из горизонтального луча, дуги параболы и возрастающей кривой.

Свойства функции:

$$ D(f)=(-\infty;+\infty), \qquad E(f)=[0;+\infty). $$

Функция ни чётная, ни нечётная. Убывает на $$[-1;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$, постоянна на $$(-\infty;-1)$$. Наименьшее значение равно $$0$$ и достигается при $$x=0$$, наибольшего значения нет.

Ответ

а) График состоит из частей $$y=x^2$$ при $$x\le 0$$, $$y=x^{\frac23}$$ при $$0<x\le 1$$ и $$y=\frac1x$$ при $$x>1$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[0;+\infty)$$.
б) График состоит из частей $$y=2$$ при $$x<-1$$, $$y=2x^2$$ при $$-1\le x\le 0$$ и $$y=x^{\frac32}$$ при $$x>0$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[0;+\infty)$$.