Упр.9.18 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Постройте и прочитайте график функции: 9.18 а)y=система б)y=система 1/x, если x < 0, x2-2x,если -1 меньше или равно x меньше или равно 2, x-1/2, если x > 0; 2(x-2)0,75 2 < x меньше или равно 3

а) Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & x<0,\\ x^{-\frac12}, & x>0. \end{cases} $$

При $x<0$ имеем ветвь гиперболы $y=\dfrac{1}{x}$, а при $x>0$ — график функции $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.

Обе части определены только при $x\neq 0$, поэтому

$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Значения функции также отрицательны при $x<0$ и положительны при $x>0$, значит

$$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty;0)$ и $(0;+\infty)$, не является ни чётной, ни нечётной. Вертикальная асимптота: $x=0$, горизонтальная асимптота: $y=0$.

б) Рассмотрим функцию

$$ y= \begin{cases} x^2-2x, & -1\le x\le 2,\\ 2(x-2)^{0.75}, & 2<x\le 3. \end{cases} $$

На отрезке $[-1;2]$ имеем параболу

$$ y=x^2-2x=(x-1)^2-1. $$

Её вершина: $x=1$, $y=-1$. На концах отрезка:

$$ y(-1)=(-1)^2-2\cdot(-1)=3,\qquad y(2)=2^2-2\cdot2=0. $$

На промежутке $(2;3]$ функция $y=2(x-2)^{0.75}$ возрастает, так как показатель степени положителен и основание $x-2>0$. При $x\to 2+0$ получаем $y\to 0$, а при $x=3$:

$$ y(3)=2\cdot(3-2)^{0.75}=2. $$

Следовательно, график состоит из части параболы на $[-1;2]$ и возрастающей кривой на $(2;3]$.

Область определения:

$$D(y)=[-1;3].$$

Множество значений:

$$E(y)=[-1;3].$$

Функция ни чётная, ни нечётная, убывает на $[-1;1]$ и возрастает на $[1;3]$. Наименьшее значение равно $-1$ при $x=1$, наибольшее значение равно $3$ при $x=-1$.

Ответ

а) График состоит из двух ветвей: $y=\dfrac{1}{x}$ при $x<0$ и $y=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ при $x>0$; $D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, $E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$, асимптоты $x=0$ и $y=0$.

б) График состоит из части параболы $y=x^2-2x$ на $[-1;2]$ и кривой $y=2(x-2)^{0.75}$ на $(2;3]$; $D(y)=[-1;3]$, $E(y)=[-1;3]$, $y_{\min}=-1$ при $x=1$, $y_{\max}=3$ при $x=-1$.