Упр.9.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.17 Постройте и прочитайте график функции: а)y=система x, если x < 0, x5/3, если x больше или равно 0; б)y=система |x|, если x < 1 x1/3,если x больше или равно 1.
а) Функция задана по частям:
$$ y= \begin{cases} x, & x<0,\\ x^{\frac{5}{3}}, & x\ge 0. \end{cases} $$
При $$x<0$$ график — прямая $$y=x$$. Для построения возьмём точки $$(-2,-2)$$, $$(-1,-1)$$, $$ (0,0)$$.
При $$x\ge 0$$ график — степенная функция $$y=x^{\frac{5}{3}}$$. Для построения возьмём точки $$ (0,0)$$, $$ (1,1)$$, $$ (3,3^{\frac{5}{3}}\approx 6{,}2)$$.
Обе части соединяются в точке $$ (0,0)$$. График непрерывен на всей области определения.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- возрастает на всей числовой прямой;
- наименьшего и наибольшего значений не имеет;
- дифференцируема при всех $$x\ne 0$$.
б) Функция задана по частям:
$$ y= \begin{cases} |x|, & x<1,\\ x^{\frac{1}{3}}, & x\ge 1. \end{cases} $$
При $$x<1$$ график — модуль $$y=|x|$$. Для построения возьмём точки $$(-1,1)$$, $$ (0,0)$$, $$ (1,1)$$.
При $$x\ge 1$$ график — функция $$y=x^{\frac{1}{3}}$$. Для построения возьмём точки $$ (1,1)$$, $$ (8,2)$$.
В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение $$y=1$$, поэтому график соединяется без разрыва.
Свойства функции:
- $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
- $$E(f)=[0;+\infty)$$;
- функция ни чётная, ни нечётная;
- убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$;
- наименьшее значение $$0$$ достигается при $$x=0$$;
- наибольшего значения не имеет;
- непрерывна на всей области определения;
- дифференцируема при всех $$x\ne 0$$ и $$x\ne 1$$.
Ответ
а) График состоит из прямой $$y=x$$ при $$x<0$$ и кривой $$y=x^{\frac{5}{3}}$$ при $$x\ge 0$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает на всей числовой прямой.
б) График состоит из $$y=|x|$$ при $$x<1$$ и $$y=x^{\frac{1}{3}}$$ при $$x\ge 1$$; $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$, $$E(f)=[0;+\infty)$$, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.
