Упр.9.16 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 9.16 Определите число решений системы уравнений: а)система y= x-8/5, y=x2-4x+1; б)система y=x1/9, y=2x+3; в)система y=x-5/3, y=2×2; г)система y=x2/7, y=(x+2)3.

1. а) Рассмотрим пересечение графиков функций $$y=x^{-\frac{8}{5}}$$ и $$y=x^2-4x+1.$$

   Функция $$y=x^{-\frac{8}{5}}=\frac{1}{x^{8/5}}$$ определена при $$x\ne 0$$ и убывает при $$x>0.$$ Парабола $$y=x^2-4x+1$$ имеет вершину в точке $$\left(2,-3\right).$$

   При $$x=1$$ получаем:

   $$ y=1^{-\frac{8}{5}}=1,\qquad y=1^2-4\cdot 1+1=-2. $$

   При $$x=4$$:

   $$ y=4^{-\frac{8}{5}} \ne 4^2-4\cdot 4+1. $$

   По графику видно, что графики пересекаются один раз.

2. б) Рассмотрим систему $$y=x^{\frac{1}{9}}$$ и $$y=2x+3.$$

   Функция $$y=x^{\frac{1}{9}}$$ возрастает при всех допустимых $$x,$$ а прямая $$y=2x+3$$ тоже возрастает. Проверим возможную точку пересечения:

   $$ x^{\frac{1}{9}}=2x+3. $$

   При $$x=0$$: $$0\ne 3.$$ При $$x=1$$: $$1\ne 5.$$ Графики не пересекаются.

3. в) Рассмотрим систему $$y=x^{-\frac{5}{3}}$$ и $$y=2x^2.$$

   Функция $$y=x^{-\frac{5}{3}}=\frac{1}{x^{5/3}}$$ определена при $$x\ne 0$$ и убывает при $$x>0,$$ а функция $$y=2x^2$$ возрастает при $$x>0.$$

   Проверим точку $$x=1$$:

   $$ 1^{-\frac{5}{3}}=1,\qquad 2\cdot 1^2=2. $$

   Графики пересекаются один раз.

4. г) Рассмотрим систему $$y=x^{\frac{2}{7}}$$ и $$y=(x+2)^3.$$

   Функция $$y=x^{\frac{2}{7}}$$ неотрицательна при всех $$x,$$ а функция $$y=(x+2)^3$$ принимает отрицательные значения при $$x<-2$$ и положительные при $$x>-2.$$

   При $$x=0$$ имеем:

   $$ 0^{\frac{2}{7}}=0,\qquad (0+2)^3=8. $$

   Графики не пересекаются.

Ответ

а) 1 решение; б) 0 решений; в) 1 решение; г) 0 решений.