Упр.8.37 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 8.37 а) Упростите выражение и найдите его значение при x=1/9: (x5/2-x1/2)/(x+1)(x2+1)- ( x- x3/(1+x2)-1/2* x2 корень (1+x2)-1 — корень 1+x2/(1+x2). б) Упростите выражение и найдите его значение при a=корень 0,027, x=1/27: ((x2/3-a4/3)/(x+2×2/3a2/3+a4/3×1/3)+(x1/3-4a4/3)/(a4/3-x2/3)- (a4/3-2x)/(x-a4/3×1/3) — 2) * (x2/3-a4/3)/(6a2/3-2).

Подробный ответ

а) Упростим выражение:

$$ \frac{x^{5/2}-x^{-1/2}}{(x+1)(x^2+1)} -\left(x-\frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-1/2}\cdot \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}}-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} $$

$$ x^{5/2}-x^{-1/2}=x^{-1/2}(x^3-1), $$
$$ \left(x-\frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-1/2} = \left(\frac{x(1+x^2)-x^3}{1+x^2}\right)^{-1/2} = \left(\frac{x}{1+x^2}\right)^{-1/2} = \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}}. $$

Тогда
$$ \frac{x^{5/2}-x^{-1/2}}{(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}, $$
а
$$ \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}}-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} = \frac{x^2}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}}-\frac{\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} = \frac{x^2-(1+x^2)}{(1+x^2)\sqrt{1+x^2}} = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}. $$

Следовательно,
$$ \frac{x^{5/2}-x^{-1/2}}{(x+1)(x^2+1)} -\left(x-\frac{x^3}{1+x^2}\right)^{-1/2}\cdot \frac{x^2\sqrt{(1+x^2)^{-1}}-\sqrt{1+x^2}}{1+x^2} $$
$$ = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} -\frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{x}}\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}}. $$

Приведём к общему знаменателю:
$$ \frac{x^3-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)}+\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{x^3-1+(x+1)(x^2+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} = \frac{x^3+x^3+x+1-1}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} = \frac{x(x^2+1)}{\sqrt{x}(x+1)(x^2+1)} = \frac{\sqrt{x}}{x+1}. $$

При $$x=\frac19$$:
$$ \frac{\sqrt{x}}{x+1} = \frac{1/3}{1/9+1} = \frac{1/3}{10/9} = \frac{3}{10} = 0{,}3. $$

б) Упростим выражение:

$$ \left( \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{x+2x^{2/3}a^{2/3}+a^{4/3}x^{1/3}} + \frac{x^{1/3}-4a^{4/3}}{a^{4/3}-x^{2/3}} — \frac{a^{4/3}-2x}{x-a^{4/3}x^{1/3}} -2 \right)\cdot \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{6a^{2/3}-2}. $$

Заметим, что
$$ x+2x^{2/3}a^{2/3}+a^{4/3}x^{1/3} = x^{1/3}\left(x^{2/3}+2x^{1/3}a^{2/3}+a^{4/3}\right) = x^{1/3}\left(x^{1/3}+a^{2/3}\right)^2, $$
$$ a^{4/3}-x^{2/3}=-(x^{2/3}-a^{4/3}), \qquad x-a^{4/3}x^{1/3}=x^{1/3}\left(x^{2/3}-a^{4/3}\right). $$

После приведения к общему знаменателю и сокращения получаем:
$$ \left( \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{x+2x^{2/3}a^{2/3}+a^{4/3}x^{1/3}} + \frac{x^{1/3}-4a^{4/3}}{a^{4/3}-x^{2/3}} — \frac{a^{4/3}-2x}{x-a^{4/3}x^{1/3}} -2 \right) = \frac{2a^{2/3}(3a^{2/3}-1)}{x^{1/3}(x^{2/3}-a^{4/3})}. $$

Тогда всё выражение равно
$$ \frac{2a^{2/3}(3a^{2/3}-1)}{x^{1/3}(x^{2/3}-a^{4/3})}\cdot \frac{x^{2/3}-a^{4/3}}{6a^{2/3}-2} = \frac{2a^{2/3}(3a^{2/3}-1)}{x^{1/3}(6a^{2/3}-2)} = \frac{a^{2/3}}{x^{1/3}}. $$

При $$a=\sqrt{0{,}027}$$ и $$x=\frac1{27}$$:
$$ a^{2/3}=\left(\sqrt{0{,}027}\right)^{2/3} = \left(0{,}027^{1/2}\right)^{2/3} = 0{,}027^{1/3} = 0{,}3, $$
$$ x^{1/3}=\left(\frac1{27}\right)^{1/3}=\frac13. $$
Значит,
$$ \frac{a^{2/3}}{x^{1/3}}=\frac{0{,}3}{1/3}=0{,}9. $$