Упр.8.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 8.34 а)(a-b)(a1/2-b1/2) — (a3/2-b3/2)/(a-b); б)корень x/(x1/2+y1/2) + корень y/(x1/2-y1/2).

1. а) Преобразуем выражение:

   $$\frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b}$$

   Заметим, что

   $$a-b=(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b),$$

   $$a^{3/2}-b^{3/2}=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$$

   Тогда

   $$ \frac{a-b}{\sqrt a-\sqrt b}-\frac{a^{3/2}-b^{3/2}}{a-b} = \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt a-\sqrt b} — \frac{(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b)}{(\sqrt a-\sqrt b)(\sqrt a+\sqrt b)} $$

   $$ =(\sqrt a+\sqrt b)-\frac{a+\sqrt{ab}+b}{\sqrt a+\sqrt b} $$

   $$ =\frac{(\sqrt a+\sqrt b)^2-(a+\sqrt{ab}+b)}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{a+2\sqrt{ab}+b-a-\sqrt{ab}-b}{\sqrt a+\sqrt b} =\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}. $$

2. б) Преобразуем выражение:

   $$\frac{\sqrt x}{\sqrt x+\sqrt y}+\frac{\sqrt y}{\sqrt x-\sqrt y}$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt y)}{(\sqrt x+\sqrt y)(\sqrt x-\sqrt y)} + \frac{\sqrt y(\sqrt x+\sqrt y)}{(\sqrt x-\sqrt y)(\sqrt x+\sqrt y)} $$

   $$ = \frac{x-\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+y}{x-y} = \frac{x+y}{x-y}. $$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt a+\sqrt b}$$; б) $$\frac{x+y}{x-y}$$.