Упр.8.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 8.30 а)(c+c1/2d1/2 + d)/(c3/2-d3/2); б)(m+n)/(m2/3-m1/3n1/3+n2/3).

Подробный ответ

а) Заметим, что числитель можно представить как сумму кубов:

$$c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d=\left(c^{\frac12}\right)^2+c^{\frac12}d^{\frac12}+\left(d^{\frac12}\right)^2.$$

Тогда

$$c^{\frac32}-d^{\frac32}=\left(c^{\frac12}-d^{\frac12}\right)\left(c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d\right).$$

Сократим дробь:

$$ \frac{c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d}{c^{\frac32}-d^{\frac32}} = \frac{c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d}{\left(c^{\frac12}-d^{\frac12}\right)\left(c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d\right)} = \frac{1}{c^{\frac12}-d^{\frac12}}. $$

Следовательно,

$$\frac{c+c^{\frac12}d^{\frac12}+d}{c^{\frac32}-d^{\frac32}}=\frac{1}{\sqrt{c}-\sqrt{d}}.$$

б) В знаменателе используем формулу разности кубов:

$$m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}=\left(m^{\frac13}\right)^2-m^{\frac13}n^{\frac13}+\left(n^{\frac13}\right)^2.$$

Тогда

$$ m+n=\left(m^{\frac13}+n^{\frac13}\right)\left(m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}\right). $$

Сокращаем дробь:

$$ \frac{m+n}{m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}} = \frac{\left(m^{\frac13}+n^{\frac13}\right)\left(m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}\right)}{m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}} = m^{\frac13}+n^{\frac13}. $$

То есть

$$\frac{m+n}{m^{\frac23}-m^{\frac13}n^{\frac13}+n^{\frac23}}=\sqrt[3]{m}+\sqrt[3]{n}.$$