Упр.7.53 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Чтобы не спалиться на списывании, сайт решак.ру рекомендует максимально изменять тексты сочинений «под себя», изменять имена собственные, города, подбирать синонимы.

Подробный ответ

а) Преобразуем левую часть:

$$ \sqrt[4]{6a(5+2\sqrt6)}\cdot \sqrt{3\sqrt{2a}-2\sqrt{3a}} $$
$$ =\sqrt[4]{6a}\cdot \sqrt[4]{5+2\sqrt6}\cdot \sqrt{\sqrt{a}\,(\sqrt3\sqrt2-2\sqrt3)} $$
$$ =\sqrt[4]{6a}\cdot \sqrt[4]{(\sqrt2+\sqrt3)^2}\cdot \sqrt{\sqrt{a}\,\sqrt3(\sqrt2-\sqrt3)} $$
$$ =\sqrt[4]{6a}\cdot \sqrt[4]{2+\!3+2\sqrt6}\cdot \sqrt{\sqrt{a}\,(\sqrt3-\sqrt2)} $$
$$ =\sqrt[4]{6a}\cdot \sqrt[4]{(\sqrt3+\sqrt2)^2}\cdot \sqrt{\sqrt{3}-\sqrt2} $$
$$ =\sqrt[4]{6a}\cdot (\sqrt3+\sqrt2)\cdot \sqrt{\sqrt3-\sqrt2}. $$
$$ (\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)=3-2=1, $$
значит
$$ \sqrt[4]{(\sqrt3+\sqrt2)^2}\cdot \sqrt{\sqrt3-\sqrt2}=1. $$
Следовательно, левая часть равна $$\sqrt[4]{6a}$$.

б) Упростим выражение:

$$ \frac{\sqrt[3]{\sqrt5-\sqrt3}\cdot \sqrt[6]{8+2\sqrt{15}}-\sqrt[3]{a}} {\sqrt[3]{\sqrt{20}+\sqrt{12}}\cdot \sqrt[6]{8-2\sqrt{15}}-2\sqrt[3]{2a}+\sqrt[3]{a^2}} $$
$$ = \frac{\sqrt[3]{\sqrt5-\sqrt3}\cdot \sqrt[6]{(\sqrt5+\sqrt3)^2}-\sqrt[3]{a}} {\sqrt[3]{2(\sqrt5+\sqrt3)}\cdot \sqrt[6]{(\sqrt5-\sqrt3)^2}-2\sqrt[3]{2a}+\sqrt[3]{a^2}} $$
$$ = \frac{\sqrt[3]{\sqrt5-\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt5+\sqrt3}-\sqrt[3]{a}} {\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{\sqrt5+\sqrt3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt5-\sqrt3}-2\sqrt[3]{2a}+\sqrt[3]{a^2}} $$
$$ = \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a}} {\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{2a}+\sqrt[3]{a^2}} = \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a}} {(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a})^2}. $$
Тогда
$$ \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a}} {(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a})^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{a}}. $$