Упр.7.51 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Совет дня! Поиск по сайту решак.ру может помочь найти другой похожий топик из других учебных изданий. Таким образом, можете скомпоновать их разные части и получить уникальный ответ на задание.

Подробный ответ

а) Обозначим левую часть равенства через $$x$$:

$$x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}.$$

Тогда по формуле $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$ получаем:

$$x^3=(5\sqrt2+7)-(5\sqrt2-7)-3\sqrt[3]{(5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)}\cdot x.$$

Так как

$$ (5\sqrt2+7)(5\sqrt2-7)=50-49=1, $$

то

$$x^3=14-3x,$$

или

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим значение $$x=2$$:

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Значит, $$x=2$$, и равенство верно.

б) Обозначим левую часть через $$x$$:

$$x=\sqrt[3]{6+\sqrt{\frac{847}{27}}}+\sqrt[3]{6-\sqrt{\frac{847}{27}}}.$$

Тогда по формуле $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$ имеем:

$$x^3=\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)+\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)+3\sqrt[3]{\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)}\cdot x.$$

Вычислим произведение:

$$\left(6+\sqrt{\frac{847}{27}}\right)\left(6-\sqrt{\frac{847}{27}}\right)=36-\frac{847}{27}=\frac{125}{27}.$$

Тогда

$$x^3=12+3\sqrt[3]{\frac{125}{27}}\cdot x=12+5x,$$

то есть

$$x^3-5x-12=0.$$

Проверим значение $$x=3$$:

$$3^3-5\cdot3-12=27-15-12=0.$$

Значит, $$x=3$$, и равенство верно.