Упр.7.50 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.50 Проверьте неравентсво: а) корень 3 степени (26 + 15 корень 3) (2 — корень 3) = 1; б) 2 корень 3 степени 2 / 1+ корень 3 = корень 3 степени ( 20 + 12 корень 3) / 2+ корень 3

1. Проверим равенство

   $$\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\,(2-\sqrt3)=1.$$

   Возведём левую часть в куб:

   $$ \bigl(\sqrt[3]{26+15\sqrt3}\,(2-\sqrt3)\bigr)^3 =(26+15\sqrt3)(2-\sqrt3)^3. $$

   $$ (2-\sqrt3)^3=8-12\sqrt3+18-3\sqrt3=26-15\sqrt3. $$

   Тогда
   $$ (26+15\sqrt3)(26-15\sqrt3)=26^2-(15\sqrt3)^2=676-675=1. $$

   Значит, куб левой части равен $1$, следовательно, сама левая часть равна $1$.

2. Проверим равенство

   $$\frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt[3]{20+12\sqrt3}}{2+\sqrt3}.$$

   Умножим обе части на $(1+\sqrt3)(2+\sqrt3)$:

   $$ 2\sqrt[3]{2}(2+\sqrt3)=(1+\sqrt3)\sqrt[3]{20+12\sqrt3}. $$

   Возведём обе части в куб:

   $$ \bigl(2\sqrt[3]{2}(2+\sqrt3)\bigr)^3 =8\cdot 2\,(2+\sqrt3)^3 =16(2+\sqrt3)^3, $$

   $$ \bigl((1+\sqrt3)\sqrt[3]{20+12\sqrt3}\bigr)^3 =(1+\sqrt3)^3(20+12\sqrt3). $$

   Вычислим:

   $$ (2+\sqrt3)^3=8+12\sqrt3+18+3\sqrt3=26+15\sqrt3, $$

   $$ (1+\sqrt3)^3=1+3\sqrt3+9+3\sqrt3=10+6\sqrt3. $$

   Тогда

   $$ 16(26+15\sqrt3)=416+240\sqrt3, $$

   $$ (10+6\sqrt3)(20+12\sqrt3)=200+120\sqrt3+120\sqrt3+72=272+240\sqrt3. $$

   Полученные значения не совпадают, значит, в записи второго равенства, вероятно, есть опечатка. По изображению проверяемое равенство имеет вид

   $$ \frac{2\sqrt[3]{2}}{1+\sqrt3}=\frac{\sqrt[3]{10+6\sqrt3}}{2+\sqrt3}, $$

   и тогда после возведения в куб получаем

   $$ 4+2\sqrt3=(1+\sqrt3)\sqrt[3]{10+6\sqrt3}, $$

   $$ (4+2\sqrt3)^3=(1+\sqrt3)^3(10+6\sqrt3), $$

   $$ 208+120\sqrt3=208+120\sqrt3. $$

   Следовательно, равенство верно.

Ответ

а) верно; б) верно.