Упр.7.47 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.47 Упростите выражение: а) ( корень ab * корень 4 степени a)/(a+b)* корень 4 степени b2/a — a2+b2/a2-b2; б) ((корень 4 степени m + корень 4 степени n)2 + (корень 4 степени m — корень 4 степени n)2)/(2(m-n)) : 1/ (корень m3 — корень n3) — 3 корень mn.
а)
$$\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{\frac{b^2}{a}}}-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}$$
$$=\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \frac{\sqrt[4]{b^2}}{\sqrt[4]{a}}}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{\sqrt{ab}\cdot \sqrt[4]{a}\cdot \sqrt[4]{a}}{(a+b)\cdot \sqrt[4]{b^2}}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{a\sqrt{b}}{a+b}-\frac{a^2+b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{a(a-b)-(a^2+b^2)}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{a^2-ab-a^2-b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{-ab-b^2}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{-b(a+b)}{(a-b)(a+b)}=\frac{b}{b-a}.$$б)
$$\frac{(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})^2+(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})^2}{2(m-n)}:\frac{1}{\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}}-3\sqrt{mn}$$
$$=\frac{m+2\sqrt{mn}+n+m-2\sqrt{mn}+n}{2(m-n)}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}$$
$$=\frac{2m+2n}{2(m-n)}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}$$
$$=\frac{m+n}{m-n}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})-3\sqrt{mn}.$$Так как
$$\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3}=\sqrt{m}\,m-\sqrt{n}\,n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n),$$
а
$$m-n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n}),$$
то
$$\frac{m+n}{m-n}\cdot (\sqrt{m^3}-\sqrt{n^3})=\frac{m+n}{(\sqrt{m}-\sqrt{n})(\sqrt{m}+\sqrt{n})}\cdot (\sqrt{m}-\sqrt{n})(m+\sqrt{mn}+n)$$
$$=m+\sqrt{mn}+n.$$Тогда
$$m+\sqrt{mn}+n-3\sqrt{mn}=m-2\sqrt{mn}+n=(\sqrt{m}-\sqrt{n})^2.$$
Ответ
а) $$\frac{b}{b-a}$$; б) $$\left(\sqrt{m}-\sqrt{n}\right)^2$$.
