Упр.7.45 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.45 а) корень 4 степени (17+ корень 288); б) корень 4 степени( 28-16 корень 3).

Подробный ответ

а)

$$ \sqrt[4]{17+\sqrt{288}}=\sqrt[4]{17+12\sqrt2} $$
Так как
$$ 17+12\sqrt2=9+8+12\sqrt2=(3+2\sqrt2)^2, $$
то
$$ \sqrt[4]{17+12\sqrt2}=\sqrt{3+2\sqrt2}. $$
Представим подкоренное выражение в виде квадрата:
$$ 3+2\sqrt2=2+1+2\sqrt2=(\sqrt2+1)^2. $$
Тогда
$$ \sqrt{3+2\sqrt2}=\sqrt{(\sqrt2+1)^2}=\sqrt2+1. $$

б)

$$ \sqrt[4]{28-16\sqrt3}=\sqrt[4]{16-16\sqrt3+12} $$
Так как
$$ 16-16\sqrt3+12=4(4-4\sqrt3+3)=(4-2\sqrt3)^2, $$
то
$$ \sqrt[4]{28-16\sqrt3}=\sqrt{4-2\sqrt3}. $$
Представим выражение под корнем как квадрат:
$$ 4-2\sqrt3=3+1-2\sqrt3=(\sqrt3-1)^2. $$
Следовательно,
$$ \sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=\sqrt3-1. $$