Упр.7.44 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Найдите значение выражения: 7.44 а) (4-3 корень 2)/(корень 4 степени 2 — корень 4 степени 8)2 б) (корень 3 степени 9 + корень 3)2/ (корень 3 степени 3 + 2 корень 6 степени 3 + 1); в) ( корень 4 степени 24 + корень 4 степени 6)2/ ( 4 корень 3 + 3 корень 6); г) ( 1 — 2 корень 4 степени 5 + корень 5)/(корень 3- корень 4 степени 45)2.

1. а)

   $$\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{8}\right)^2} =\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt[4]{2\cdot 4}\right)^2} =\frac{4-3\sqrt2}{\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt2\right)^2}.$$

   $$\left(\sqrt[4]{2}-\sqrt2\right)^2=\sqrt2-2\sqrt[4]{4}+\sqrt2=\sqrt2-2+\sqrt2=2\sqrt2-2,$$

   $$\frac{4-3\sqrt2}{2\sqrt2-2} =\frac{(4-3\sqrt2)(2\sqrt2+2)}{(2\sqrt2-2)(2\sqrt2+2)} =\frac{8\sqrt2+8-12-6\sqrt2}{4-4} =-1.$$

   Значение выражения равно $$-1$$.

2. б)

   $$\frac{\left(\sqrt[3]{9}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1} =\frac{\left(\sqrt[3]{3^2}+\sqrt3\right)^2}{\sqrt[3]{3}+2\sqrt[6]{3}+1}.$$

   Положим $$t=\sqrt[6]{3}$$. Тогда $$\sqrt[3]{3}=t^2$$, $$\sqrt3=t^3$$, $$\sqrt[3]{9}=t^4$$.

   $$\frac{(t^4+t^3)^2}{t^2+2t+1} =\frac{t^6(t+1)^2}{(t+1)^2} =t^6=3.$$

   Значение выражения равно $$3$$.

3. в)

   $$\frac{\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6} =\frac{\left(\sqrt[4]{6}\sqrt[4]{4}+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6} =\frac{\left(\sqrt[4]{6}\cdot \sqrt2+\sqrt[4]{6}\right)^2}{4\sqrt3+3\sqrt6}.$$

   $$\left(\sqrt[4]{24}+\sqrt[4]{6}\right)^2 =\left(\sqrt[4]{6}\right)^2\left(\sqrt2+1\right)^2 =\sqrt6\,(3+2\sqrt2).$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt6\,(3+2\sqrt2)}{4\sqrt3+3\sqrt6} =\frac{\sqrt6\,(3+2\sqrt2)}{\sqrt3\,(4+3\sqrt2)} =1.$$

   Значение выражения равно $$1$$.

4. г)

   $$\frac{1-2\sqrt[4]{5}+\sqrt5}{\left(\sqrt3-\sqrt[4]{45}\right)^2} =\frac{(1-\sqrt[4]{5})^2}{\left(\sqrt3-\sqrt3\sqrt[4]{5}\right)^2} =\frac{(1-\sqrt[4]{5})^2}{\left(\sqrt3(1-\sqrt[4]{5})\right)^2}.$$

   $$\frac{(1-\sqrt[4]{5})^2}{3(1-\sqrt[4]{5})^2} =\frac13.$$

   Значение выражения равно $$\frac13$$.

Ответ

а) $$-1$$; б) $$3$$; в) $$1$$; г) $$\frac13$$.