Упр.7.43 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.43 Избавьтесь от иррациональности в знамената=еле дроби 1/(корень a + корень b + корень c+корень a1 + корень b1 + корень c1), если известно что a/a1=b/b1=c/c1.

Пусть

$$\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}=\frac{1}{k^2}.$$

Тогда

$$a_1=k^2a,\quad b_1=k^2b,\quad c_1=k^2c,$$

а значит

$$\sqrt{a_1}=k\sqrt{a},\quad \sqrt{b_1}=k\sqrt{b},\quad \sqrt{c_1}=k\sqrt{c}.$$

Обозначим

$$S=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{a_1}+\sqrt{b_1}+\sqrt{c_1}}.$$

Тогда

$$S=\frac{1}{(k+1)(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}.$$

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$$:

$$S=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(k+1)\big((\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-c\big)}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}}{(k+1)(a+b-c+2\sqrt{ab})}.$$

Далее домножим на $$a+b-c-2\sqrt{ab}$$:

$$S=\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(k+1)\big((a+b-c)^2-4ab\big)}.$$

Так как

$$ (a+b-c)^2-4ab=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc, $$

а также

$$k=\sqrt{\frac{a_1}{a}},$$

получаем

$$S=\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})(\sqrt{a_1}-\sqrt{a})}{(a_1-a)(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c})(a+b-c-2\sqrt{ab})(\sqrt{a_1}-\sqrt{a})}{(a_1-a)(a^2+b^2+c^2-2ab-2ac-2bc)}$$