Упр.7.42 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.42. Вычислите: а) ( 4/(корень 7 — корень 3)+ 5/(корень 12 +корень 7) ); б) 2/(корень 3 + 1)+ 2/( корень 5 + корень 3)+ 2/(корень 7 + корень 5)+…+ 2/(корень 23 + корень 21)+ 2/(корень 25+корень 23).

Подробный ответ

а) Преобразуем дроби, освобождаясь от иррациональности в знаменателе:

$$ \frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}=\frac{4(\sqrt7+\sqrt3)}{7-3}=\sqrt7+\sqrt3, \qquad \frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt7}=\frac{5(\sqrt{12}-\sqrt7)}{12-7}=\sqrt{12}-\sqrt7. $$

Тогда

$$ \left(\frac{4}{\sqrt7-\sqrt3}+\frac{5}{\sqrt{12}+\sqrt7}\right)^2 = (\sqrt7+\sqrt3+\sqrt{12}-\sqrt7)^2 = (\sqrt3+\sqrt{12})^2. $$

Так как $$\sqrt{12}=2\sqrt3,$$ получаем

$$ (\sqrt3+2\sqrt3)^2=(3\sqrt3)^2=9\cdot 3=27. $$

б) Каждый член суммы преобразуем по формуле:

$$ \frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt n} = \frac{2(\sqrt{n+2}-\sqrt n)}{(n+2)-n} = \sqrt{n+2}-\sqrt n. $$

Тогда

$$ \frac{2}{\sqrt3+1}+\frac{2}{\sqrt5+\sqrt3}+\frac{2}{\sqrt7+\sqrt5}+\cdots+\frac{2}{\sqrt{25}+\sqrt{23}} $$
$$ =(\sqrt3-1)+(\sqrt5-\sqrt3)+(\sqrt7-\sqrt5)+\cdots+(\sqrt{25}-\sqrt{23}). $$

Сумма сокращается:

$$ -1+\sqrt{25}=-1+5=4. $$