Упр.7.41 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.41. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) 1/(корень 4 степени 3+ корень 3 степени 4); б) 2/( корень 12 степени 5 + корень 12 степени 3); в) 1/( корень 3 степени 5 + корень 4 степени 2); г) 1/( корень 12 степени 4- корень 12 степени 2).

1. а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4}} = \frac{\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4}}{3-\sqrt[12]{16}} = \frac{(\sqrt[4]{3}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{3}+2\sqrt[3]{2})}{27-64\cdot 4}. $$

   Так как $$27-256=-229,$$ получаем

   $$ \frac{1}{\sqrt[4]{3}+\sqrt[3]{4}} = \frac{(\sqrt[3]{4}-\sqrt[4]{3})(\sqrt{3}+2\sqrt[3]{2})(9+12\sqrt[4]{3}+16\sqrt[3]{16})}{229}. $$

2. б) Рационализуем знаменатель поэтапно:

   $$ \frac{2}{\sqrt[12]{5}+\sqrt[12]{3}} = \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})}{\sqrt[6]{5}-\sqrt[6]{3}} = \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})}{5-3}. $$

   Далее

   $$ \frac{2(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})}{2} = (\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}). $$

3. в) Умножим на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{2}} = \frac{\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2}}{\sqrt[3]{25}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})}{\sqrt[3]{625}-2}. $$

   Так как $$\sqrt[3]{625}=5\sqrt[3]{5},$$ то

   $$ \frac{1}{\sqrt[3]{5}+\sqrt[4]{2}} = \frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})(25\sqrt[3]{25}+10\sqrt[3]{5}+4)}{617}. $$

4. г) Аналогично:

   $$ \frac{1}{\sqrt[12]{4}-\sqrt[12]{2}} = \frac{\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2}}{\sqrt[6]{4}-\sqrt[6]{2}} = \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})}{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}}. $$

   Далее

   $$ \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4})}{4-2} = \frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4})}{2}. $$

Ответ

а) $$\frac{(\sqrt[3]{4}-\sqrt[4]{3})(\sqrt{3}+2\sqrt[3]{2})(9+12\sqrt[4]{3}+16\sqrt[3]{16})}{229}$$; б) $$(\sqrt[12]{5}-\sqrt[12]{3})(\sqrt[6]{5}+\sqrt[6]{3})(\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9})$$; в) $$\frac{(\sqrt[3]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt{2}+\sqrt[3]{25})(25\sqrt[3]{25}+10\sqrt[3]{5}+4)}{617}$$; г) $$\frac{(\sqrt[12]{4}+\sqrt[12]{2})(\sqrt[6]{4}+\sqrt[6]{2})(2\sqrt[3]{2}+2+\sqrt[3]{4})}{2}$$.