Упр.7.40 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.40 а) 3/( корень 15 + корень 10 — корень 6 — 2); б) 6/ ( корень 10 — корень 6 + 5 — корень 15).

Подробный ответ

а)

$$ \frac{3}{\sqrt{15}+\sqrt{10}-\sqrt{6}-2} = \frac{3}{\sqrt{5}(\sqrt{3}+\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} $$

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{5}+\sqrt{2}$$:
$$ \frac{3}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3(\sqrt{5}+\sqrt{2})}{(5-2)(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} $$

Теперь домножим на $$\sqrt{3}-\sqrt{2}$$:
$$ \frac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{3-2} = (\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) $$

$$ (\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \sqrt{15}-\sqrt{10}+\sqrt{6}-2 $$

б)

$$ \frac{6}{\sqrt{10}-\sqrt{6}+5-\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{2}(\sqrt{5}-\sqrt{3})+\sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{6}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} $$

Домножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{2}-\sqrt{5}$$:
$$ \frac{6}{(\sqrt{2}+\sqrt{5})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{6(\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(2-5)(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} $$

Теперь домножим на $$\sqrt{5}+\sqrt{3}$$:
$$ \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3})}{5-3} = (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) $$

$$ (\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}) = 5+\sqrt{15}-\sqrt{10}-\sqrt{6} $$