Упр.7.39 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.39 а) 2/ (корень 3 степени 25 — корень 3 степени 15 + корень 3 степени 9); б) 9/(корень 3 степени 16 + корень 3 степени 8 + корень 3 степени 4); в) -10/ ( корень 3 степени 4 + корень 3 степени 14 + корень 3 степени 49); г) 5 /(корень 3 степени 36- корень 3 степени 24 + корень 3 степени 16).
а) Обозначим $$a=\sqrt[3]{5},\; b=\sqrt[3]{3}.$$ Тогда
$$ \frac{2}{\sqrt[3]{25}-\sqrt[3]{15}+\sqrt[3]{9}} = \frac{2}{a^2-ab+b^2}. $$
Домножим числитель и знаменатель на $$a+b$$:
$$ \frac{2}{a^2-ab+b^2}\cdot \frac{a+b}{a+b} = \frac{2(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)}. $$
Так как
$$ (a^2-ab+b^2)(a+b)=a^3+b^3=5+3=8, $$
получаем
$$ \frac{2(a+b)}{8}=\frac{a+b}{4}=\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}}{4}. $$
б) Пусть $$a=\sqrt[3]{4},\; b=\sqrt[3]{2}.$$ Тогда
$$ \frac{9}{\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}} = \frac{9}{a^2+b^2+ab}. $$
Домножим на $$a-b$$:
$$ \frac{9}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{a-b}{a-b} = \frac{9(a-b)}{(a^2+ab+b^2)(a-b)}. $$
Так как
$$ (a^2+ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3=4-2=2, $$
то
$$ \frac{9(a-b)}{2}=\frac{9(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{2}. $$
в) Пусть $$a=\sqrt[3]{2},\; b=\sqrt[3]{7}.$$ Тогда
$$ \frac{-10}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{14}+\sqrt[3]{49}} = \frac{-10}{a^2+ab+b^2}. $$
Домножим на $$a-b$$:
$$ \frac{-10}{a^2+ab+b^2}\cdot \frac{a-b}{a-b} = \frac{-10(a-b)}{(a^2+ab+b^2)(a-b)}. $$
Так как
$$ (a^2+ab+b^2)(a-b)=a^3-b^3=2-7=-5, $$
то
$$ \frac{-10(a-b)}{-5}=2(a-b)=2(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7}). $$
г) Пусть $$a=\sqrt[3]{6},\; b=\sqrt[3]{4}.$$ Тогда
$$ \frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{24}+\sqrt[3]{16}} = \frac{5}{a^2-ab+b^2}. $$
Домножим на $$a+b$$:
$$ \frac{5}{a^2-ab+b^2}\cdot \frac{a+b}{a+b} = \frac{5(a+b)}{(a^2-ab+b^2)(a+b)}. $$
Так как
$$ (a^2-ab+b^2)(a+b)=a^3+b^3=6+4=10, $$
получаем
$$ \frac{5(a+b)}{10}=\frac{a+b}{2}=\frac{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{2}. $$
Ответ
а) $$\frac{\sqrt[3]{5}+\sqrt[3]{3}}{4}$$; б) $$\frac{9(\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})}{2}$$; в) $$2(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{7})$$; г) $$\frac{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}{2}$$.
