Упр.7.38 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.38 а) 1/(корень a + корень b + корень c); б) 1/( корень 2 — корень 3 + корень 5).

Подробный ответ

а) Рационализируем знаменатель, умножив дробь на сопряжённое выражение:

$$ \frac{1}{\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c} = \frac{\sqrt a+\sqrt b-\sqrt c}{(\sqrt a+\sqrt b)^2-c} = \frac{\sqrt a+\sqrt b-\sqrt c}{a+b-c+2\sqrt{ab}}. $$

Теперь умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение:

$$ \frac{\sqrt a+\sqrt b-\sqrt c}{a+b-c+2\sqrt{ab}} = \frac{(\sqrt a+\sqrt b-\sqrt c)(a+b-c-2\sqrt{ab})}{(a+b-c)^2-4ab}. $$

б) Аналогично:

$$ \frac{1}{\sqrt2-\sqrt3+\sqrt5} = \frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3}{(\sqrt2+\sqrt5)^2-3} = \frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3}{2+5+2\sqrt{10}-3}. $$

Тогда

$$ \frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3}{2+5+2\sqrt{10}-3} = \frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3}{2(2+\sqrt{10})}. $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к $2+\sqrt{10}$ выражение:

$$ \frac{\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3}{2(2+\sqrt{10})} = \frac{(\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3)(2-\sqrt{10})}{2(4-10)} = \frac{(\sqrt2+\sqrt5+\sqrt3)(\sqrt{10}-2)}{12}. $$