Упр.7.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.34. а) корень 3 корень 3 степени 4; корень 3 степени 5 корень 3 и корень 6 степени 100; б) корень 5 степени 4; корень 6 степени 3 корень 5 степени 3 и корень 10 степени 25; в) корень 5 степени 3 корень 3 степени 5; корень 3 степени 3 и корень 3 степени 2 корень 5 степени 3; г) корень 16 степени 64;корень 48 степени 7 корень 7 и корень 4 степени 2 корень 1,25.

а) Приведём все числа к корню шестой степени:

$$ \sqrt{3\sqrt[3]{4}}=\sqrt[6]{3^3\cdot 4}=\sqrt[6]{108}, \qquad \sqrt[3]{5\sqrt{3}}=\sqrt[6]{5^2\cdot 3}=\sqrt[6]{75}, \qquad \sqrt[6]{100}. $$
Так как $$75<100<108,$$ то
$$ \sqrt[3]{5\sqrt{3}}<\sqrt[6]{100}<\sqrt{3\sqrt[3]{4}}. $$

б) Приведём к корню пятой степени:

$$ \sqrt[5]{4}=\sqrt[10]{4^2}=\sqrt[10]{16}, \qquad \sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[30]{3^6\cdot 3}=\sqrt[30]{3^7}, \qquad \sqrt[10]{25}=\sqrt[10]{5^2}. $$
Удобнее сравнить исходные выражения через одинаковую степень:
$$ \sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}=\sqrt[30]{3^7},\qquad \sqrt[5]{4}=\sqrt[30]{4^6},\qquad \sqrt[10]{25}=\sqrt[30]{25^3}. $$
Так как $$3^7<4^6<25^3,$$ то
$$ \sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{4}<\sqrt[10]{25}. $$

в) Приведём к корню пятнадцатой степени:

$$ \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}=\sqrt[15]{3^3\cdot 5}=\sqrt[15]{135}, \qquad \sqrt[3]{3}=\sqrt[15]{3^5}=\sqrt[15]{243}, \qquad \sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}=\sqrt[15]{2^3\cdot 3}=\sqrt[15]{96}. $$
Так как $$96<135<243,$$ то
$$ \sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}}<\sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}}<\sqrt[3]{3}. $$

г) Приведём к корню тридцать второй степени:

$$ \sqrt[16]{64}=\sqrt[32]{64^2}=\sqrt[32]{4096}, \qquad \sqrt[48]{7\sqrt{7}}=\sqrt[96]{7^2\cdot 7}=\sqrt[96]{7^3}, \qquad \sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}=\sqrt[8]{2^4\cdot 1{,}25^2}=\sqrt[8]{5}. $$
Сравним значения:
$$ \sqrt[48]{7\sqrt{7}}=\sqrt[96]{7^3},\qquad \sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}=\sqrt[96]{5^{12}},\qquad \sqrt[16]{64}=\sqrt[96]{64^6}. $$
Так как $$7^3<5^{12}<64^6,$$ то
$$ \sqrt[48]{7\sqrt{7}}<\sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}}<\sqrt[16]{64}. $$

Ответ

а) $$\sqrt[3]{5\sqrt{3}},\ \sqrt[6]{100},\ \sqrt{3\sqrt[3]{4}}$$

б) $$\sqrt[6]{3\sqrt[5]{3}},\ \sqrt[5]{4},\ \sqrt[10]{25}$$

в) $$\sqrt[3]{2\sqrt[5]{3}},\ \sqrt[5]{3\sqrt[3]{5}},\ \sqrt[3]{3}$$

г) $$\sqrt[48]{7\sqrt{7}},\ \sqrt[4]{2\sqrt{1{,}25}},\ \sqrt[16]{64}$$