Упр.7.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.32. Сравните числа: а) — корень 5 степени 2 корень 4 степени 10 и — корень 4 степени корень 5 степени 99; в) корень 4 степени 3 и корень 8 степени 6 корень 2; б) корень 2 корень 3 степени 3 и корень 3 степени 5; г) — корень 2 корень 3 степени 6 и — корень 3 степени 5 корень 2.
а) Приведём оба числа к корням одной степени:
$$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}=-\sqrt[20]{2^4\cdot 10}=-\sqrt[20]{160},$$
$$-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}=-\sqrt[20]{99}.$$
Так как $$160>99,$$ то $$\sqrt[20]{160}>\sqrt[20]{99},$$ а значит
$$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}<-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}.$$
б) Приведём к корням одной степени:
$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}=\sqrt[6]{2^3\cdot 3}=\sqrt[6]{24},$$
$$\sqrt[3]{5}=\sqrt[6]{5^2}=\sqrt[6]{25}.$$
Так как $$24<25,$$ то
$$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}.$$
в) Приведём к корням одной степени:
$$\sqrt[4]{3}=\sqrt[16]{3^4}=\sqrt[16]{81},$$
$$\sqrt[8]{6\sqrt{2}}=\sqrt[16]{(6\sqrt{2})^2}=\sqrt[16]{72}.$$
Так как $$81>72,$$ то
$$\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}.$$
г) Приведём к корням одной степени:
$$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}=-\sqrt[6]{2^3\cdot 6}=-\sqrt[6]{48},$$
$$-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}=-\sqrt[6]{5^2\cdot 2}=-\sqrt[6]{50}.$$
Так как $$48<50,$$ то $$\sqrt[6]{48}<\sqrt[6]{50},$$ следовательно
$$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}>-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}.$$
Ответ
а) $$-\sqrt[5]{2\sqrt[4]{10}}<-\sqrt[4]{\sqrt[5]{99}}$$; б) $$\sqrt{2\sqrt[3]{3}}<\sqrt[3]{5}$$; в) $$\sqrt[4]{3}>\sqrt[8]{6\sqrt{2}}$$; г) $$-\sqrt{2\sqrt[3]{6}}>-\sqrt[3]{5\sqrt{2}}$$.
