Упр.7.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.30 а) (корень a — корень 3 степени b2)/(корень 4 степени a — корень 3 степени b) б) (корень 5 степени x9-1)/(корень 5 степени x3 — 1); в) (корень b — a3)/ (a корень a + корень 4 степени b); г) (корень a — b корень b)/(корень 6 степени — корень b).

1. а) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b})}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[3]{b}} = \sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}. $$

2. б) Используем формулу $$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$$, где $$x=\sqrt[5]{x^3}$$:

   $$ \frac{\sqrt[5]{x^9}-1}{\sqrt[5]{x^3}-1} = \frac{(\sqrt[5]{x^3}-1)\left(\sqrt[5]{x^6}+\sqrt[5]{x^3}+1\right)}{\sqrt[5]{x^3}-1} = \sqrt[5]{x^6}+\sqrt[5]{x^3}+1 = x\sqrt[5]{x}+ \sqrt[5]{x^3}+1. $$

3. в) Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение:

   $$ \frac{\sqrt{b}-a^3}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}} = \frac{(\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a})(\sqrt[4]{b}+a\sqrt{a})}{a\sqrt{a}+\sqrt[4]{b}} = \sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}. $$

4. г) Преобразуем числитель как разность кубов:

   $$ \frac{\sqrt{a}-b\sqrt{b}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt[3]{b^3})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b)}{\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}} = \sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b. $$

Ответ

а) $$\sqrt[4]{a}+\sqrt[3]{b}$$; б) $$x\sqrt[5]{x}+\sqrt[5]{x^3}+1$$; в) $$\sqrt[4]{b}-a\sqrt{a}$$; г) $$\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab^3}+b$$.