Упр.7.23 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.23. а) (корень x + корень y)(x — корень ху + у); б) (3 + корень 4 степени а)(9 — 3 корень 4 степени a + корень a); в) (2 корень р +корень q)(4p — 2 корень pq + q);. г) (корень 3 степени a + корень 6 степени ab + корень 3 степени b)(корень 6 степени a — корень 6 степени b.
Используем формулы сокращённого умножения:
$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, $$
$$ (a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3, $$
если в качестве $a$ и $b$ взять соответствующие корни.
$$ (\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y) =(\sqrt{x}+\sqrt{y})\big((\sqrt{x})^2-\sqrt{x}\sqrt{y}+(\sqrt{y})^2\big) $$
$$ =(\sqrt{x})^3+(\sqrt{y})^3 =x\sqrt{x}+y\sqrt{y}. $$$$ (3+\sqrt[4]{a})(9-3\sqrt[4]{a}+\sqrt{a}) =(3+\sqrt[4]{a})\big(3^2-3\sqrt[4]{a}+(\sqrt[4]{a})^2\big) $$
$$ =3^3+(\sqrt[4]{a})^3 =27+\sqrt[4]{a^3}. $$$$ (2\sqrt{p}+\sqrt{q})(4p-2\sqrt{pq}+q) =\big(2\sqrt{p}+\sqrt{q}\big)\big((2\sqrt{p})^2-(2\sqrt{p})\sqrt{q}+(\sqrt{q})^2\big) $$
$$ =(2\sqrt{p})^3+(\sqrt{q})^3 =8p\sqrt{p}+q\sqrt{q}. $$$$ (\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}) =\big(\sqrt[6]{a^2}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[6]{b^2}\big)(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}) $$
$$ =(\sqrt[6]{a})^3-(\sqrt[6]{b})^3 =\sqrt{a}-\sqrt{b}. $$
Ответ
а) $$x\sqrt{x}+y\sqrt{y}$$; б) $$27+\sqrt[4]{a^3}$$; в) $$8p\sqrt{p}+q\sqrt{q}$$; г) $$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$.
