Упр.7.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 7.19 а) корень 3 степени а корень 3 степени a корень 3 степени a * корень 27 степени a14; б) корень x/y корень y/x корень 3 степени x/y * корень 3 степени y/x; в)x корень x корень x корень x : корень 16 степени x11; г)корень 2m корень 3 степени 1/4m2 корень n/m : корень 12 степени nm.

1. а) $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}\cdot \sqrt[27]{a^{14}}$$

   Преобразуем первую часть:

   $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a}}}=\sqrt[3]{a\cdot \sqrt[3]{a\cdot a^{1/3}}}=\sqrt[3]{a^{13/9}}$$

   Удобнее записать через степени:

   $$\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a\sqrt[3]{a}}}\cdot \sqrt[27]{a^{14}}=\sqrt[27]{a^{13}}\cdot \sqrt[27]{a^{14}}=\sqrt[27]{a^{27}}=a$$

2. б) $$\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}}$$

   Приведём всё к общему показателю:

   $$\sqrt{\frac{x}{y}\sqrt{\frac{y}{x}\sqrt[3]{\frac{x}{y}}}}\cdot \sqrt[3]{\frac{y}{x}}=1$$

3. в) $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}:\sqrt[16]{x^{11}}$$

   Преобразуем корни в степени:

   $$\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}}=\sqrt[16]{x^{15}}$$

   Тогда

   $$\sqrt[16]{x^{15}}:\sqrt[16]{x^{11}}=\sqrt[16]{x^4}=\sqrt[4]{x}$$

4. г) $$\sqrt{2m\sqrt[3]{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}}:\sqrt[12]{nm}$$

   После преобразования получаем:

   $$\sqrt{2m\sqrt[3]{\frac{1}{4m^2}\sqrt{\frac{n}{m}}}}:\sqrt[12]{nm}=\sqrt[6]{2}$$

Ответ

а) $$a$$; б) $$1$$; в) $$\sqrt[4]{x}$$; г) $$\sqrt[6]{2}$$.