Упр.7.17 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Преобразуйте заданное выражение к виду корень n степени А : 7.17 а) корень 5 степени 2 корень 3 степени 2 корень 2; б) корень 4 степени 4/3 корень 3 степени 3/4 корень 4/3; в) корень 3 корень 4 степени 3 корень 3 степени 3; г) корень 3 степени 2/3 корень 3 степени 3/2 корень 2/3.

1. а) $$\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}=\sqrt[5]{2\cdot 2^{1/3}\cdot 2^{1/2}}=\sqrt[5]{2^{1+1/3+1/2}}=\sqrt[5]{2^{11/6}}.$$

   Приведём к одному корню:

   $$\sqrt[5]{2^{11/6}}=\sqrt[30]{2^{55}}=\sqrt[30]{2^{54}\cdot 2}=\sqrt[30]{(2^9)^6\cdot 2}=\sqrt[30]{2\cdot 2^{54}}=\sqrt[30]{2^9\cdot 2^2}=\sqrt[30]{8}.$$

   Удобнее записать так:

   $$\sqrt[5]{2\sqrt[3]{2\sqrt{2}}}=\sqrt[10]{8}.$$

2. б) $$\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}=\sqrt[4]{\frac{4}{3}\cdot \sqrt[3]{\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{1/2}}}.$$

   Переходим к степеням:

   $$\sqrt[4]{\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{4}\sqrt{\frac{4}{3}}}}=\sqrt[24]{\left(\frac{4}{3}\right)^6\left(\frac{3}{4}\right)^2\cdot \frac{4}{3}}=\sqrt[24]{\left(\frac{4}{3}\right)^5}=\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}.$$

3. в) $$\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}=\sqrt{3\cdot \sqrt[4]{3\cdot 3^{1/3}}}=\sqrt{3\cdot \sqrt[4]{3^{4/3}}}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}}=\sqrt{3\cdot 3^{1/3}}=\sqrt{3^{4/3}}=\sqrt[3]{9}.$$

4. г) $$\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}=\sqrt[3]{\frac{2}{3}\cdot \sqrt[3]{\frac{3}{2}\cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}}}.$$

   Приведём к одной степени:

   $$\sqrt[3]{\frac{2}{3}\sqrt[3]{\frac{3}{2}\sqrt{\frac{2}{3}}}}=\sqrt[18]{\left(\frac{2}{3}\right)^6\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot \frac{2}{3}}=\sqrt[18]{\left(\frac{2}{3}\right)^5}=\sqrt[18]{\frac{32}{243}}.$$

Ответ

а) $$\sqrt[10]{8}$$; б) $$\sqrt[24]{\frac{1024}{243}}$$; в) $$\sqrt[3]{9}$$; г) $$\sqrt[18]{\frac{32}{243}}$$.