Упр.6.28 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 6.28. a) корень 3 степени х — 2 корень 6 степени х = 0; в) корень 6 степени x + 2 корень 3 степени x — 1 = 0; 6) корень х — 5 корень 4 степени +6 = 0;г) корень 4 степени x + 2 корень 8 степени x -3 = 0.

Подробный ответ

а) $$\sqrt[3]{x}-2\sqrt[6]{x}=0.$$
Положим $$t=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем:
$$t^2-2t=0$$
$$t(t-2)=0.$$
Отсюда $$t=0$$ или $$t=2.$$
Если $$t=0,$$ то $$\sqrt[6]{x}=0,$$ значит $$x=0.$$
Если $$t=2,$$ то $$\sqrt[6]{x}=2,$$ значит $$x=64.$$
б) $$\sqrt{x}-5\sqrt[4]{x}+6=0.$$
Положим $$t=\sqrt[4]{x},$$ тогда $$\sqrt{x}=t^2.$$ Получаем:
$$t^2-5t+6=0$$
$$\left(t-2\right)\left(t-3\right)=0.$$
Отсюда $$t=2$$ или $$t=3.$$
Если $$t=2,$$ то $$\sqrt[4]{x}=2,$$ значит $$x=16.$$
Если $$t=3,$$ то $$\sqrt[4]{x}=3,$$ значит $$x=81.$$
в) $$\sqrt[6]{x}+2\sqrt[3]{x}-1=0.$$
Положим $$t=\sqrt[6]{x},$$ тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2.$$ Получаем:
$$2t^2+t-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$t_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{4}.$$
Отсюда $$t_1=\frac12,$$ $$t_2=-1.$$
Так как $$t=\sqrt[6]{x}\ge 0,$$ значение $$t=-1$$ не подходит.
Если $$t=\frac12,$$ то $$\sqrt[6]{x}=\frac12,$$ значит $$x=\frac{1}{64}.$$
г) $$\sqrt[4]{x}+2\sqrt[8]{x}-3=0.$$
Положим $$t=\sqrt[8]{x},$$ тогда $$\sqrt[4]{x}=t^2.$$ Получаем:
$$t^2+2t-3=0.$$
$$\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0.$$
Отсюда $$t=1$$ или $$t=-3.$$
Так как $$t=\sqrt[8]{x}\ge 0,$$ значение $$t=-3$$ не подходит.
Если $$t=1,$$ то $$\sqrt[8]{x}=1,$$ значит $$x=1.$$