Упр.6.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 6.26. Вынесите переменно ые из-под знака корня: а) корень 4 степени a6b9 — корень 4 степени -a7b5 б) корень 6 степени -l7m12+ корень 4 степени -l4m15.

Подробный ответ

а) $$\sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5}$$

Представим подкоренные выражения в виде произведения полного четвёртого степенного множителя и оставшегося множителя:

$$ \sqrt[4]{a^6b^9}=\sqrt[4]{a^4b^8\cdot a^2b}=|ab^2|\sqrt[4]{a^2b} $$
$$ \sqrt[4]{-a^7b^5}=\sqrt[4]{a^4b^4\cdot(-a^3b)}=|ab|\sqrt[4]{-a^3b} $$

С учётом области допустимых значений:

$$ a^6b^9\ge 0,\quad -a^7b^5\ge 0 $$
откуда
$$ b\ge 0,\quad a\le 0. $$
Тогда $$|ab^2|=-ab^2$$, а $$|ab|=ab$$.

Получаем:

$$ \sqrt[4]{a^6b^9}-\sqrt[4]{-a^7b^5} =-ab^2\sqrt[4]{a^2b}+ab\sqrt[4]{-a^3b}. $$

б) $$\sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}}$$

Выделим полные степени:

$$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}}=\sqrt[6]{l^6m^{12}\cdot(-l)}=|lm^2|\sqrt[6]{-l} $$
$$ \sqrt[4]{-l^4m^{15}}=\sqrt[4]{l^4m^{12}\cdot(-m^3)}=|lm^3|\sqrt[4]{-m^3} $$

Из условий существования корней:

$$ -l^7m^{12}\ge 0,\quad -l^4m^{15}\ge 0 $$
следует
$$ l\le 0,\quad m\le 0. $$
Значит, $$|lm^2|=-lm^2$$, $$|lm^3|=lm^3$$.

Тогда

$$ \sqrt[6]{-l^7m^{12}}+\sqrt[4]{-l^4m^{15}} =-lm^2\sqrt[6]{-l}+lm^3\sqrt[4]{-m^3}. $$