Упр.6.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Внесите переменные под знак корня: а) ad2 корень 4 степени -ad2; б) -p3q корень 8 степени p2q; в)-mn3 корень 6 степени -mn; г)xy корень 4 степени x2y3.
а) $$ad^2\sqrt[4]{-ad^2}=-\sqrt[4]{a^4d^8\cdot(-ad^2)}=-\sqrt[4]{-a^5d^{10}}.$$
Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $$-ad^2\ge 0 \Rightarrow a\le 0.$$
б) $$-p^3q\sqrt[8]{p^2q}=-\frac{p}{|p|}\sqrt[8]{p^{24}q^8\cdot p^2q}=-\frac{p}{|p|}\sqrt[8]{p^{26}q^9}.$$
Из условия существования корня $$p^2q\ge 0$$, значит $$q\ge 0.$$
Тогда
$$-p^3q\sqrt[8]{p^2q}= \begin{cases} -\sqrt[8]{p^{26}q^9}, & p\ge 0,\\ \sqrt[8]{p^{26}q^9}, & p<0. \end{cases}$$
в) $$-mn^3\sqrt[6]{-mn}=\sqrt[6]{m^6n^{18}\cdot(-mn)}=\sqrt[6]{-m^7n^{19}}.$$
Так как $$-mn\ge 0,$$ то $$mn\le 0.$$
г) $$xy\sqrt[4]{x^2y^3}=\frac{x}{|x|}\sqrt[4]{x^4y^4\cdot x^2y^3}=\frac{x}{|x|}\sqrt[4]{x^6y^7}.$$
Из условия существования корня $$x^2y^3\ge 0,$$ значит $$y\ge 0.$$
Тогда
$$xy\sqrt[4]{x^2y^3}= \begin{cases} \sqrt[4]{x^6y^7}, & x\ge 0,\\ -\sqrt[4]{x^6y^7}, & x<0. \end{cases}$$
Ответ
а) $$-\sqrt[4]{-a^5d^{10}},\ a\le 0$$;
б) $$-\sqrt[8]{p^{26}q^9}$$ при $$p\ge 0$$, $$\sqrt[8]{p^{26}q^9}$$ при $$p<0$$;
в) $$\sqrt[6]{-m^7n^{19}}$$;
г) $$\sqrt[4]{x^6y^7}$$ при $$x\ge 0$$, $$-\sqrt[4]{x^6y^7}$$ при $$x<0$$.
