Упр.6.14 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 6.14 а) корень 3 степени (26-15 корень 3)+ корень 3 степени (26+15корень 3); б) корень 3 степени ( 29 корень 2-45)- корень 3 степени ( 45+29 корень 2); в) корень 3 степени (38-17 корень 5)+ корень 3 степени (17 корень 5+38); г) корень 3 степени (170+78 корень 3)- корень 3 степени (78 корень 3 -170).

1. а) Обозначим

   $$x=\sqrt[3]{26-15\sqrt3}+\sqrt[3]{26+15\sqrt3}.$$

   Тогда

   $$x^3=(26-15\sqrt3)+(26+15\sqrt3)+3\sqrt[3]{(26-15\sqrt3)(26+15\sqrt3)}\cdot x.$$

   $$x^3=52+3\sqrt[3]{676-675}\cdot x=52+3x.$$

   Получаем уравнение

   $$x^3-3x-52=0.$$

   Проверим корень $$x=4$$:

   $$4^3-3\cdot4-52=64-12-52=0.$$

   Значит, $$x=4$$.

2. б) Пусть

   $$x=\sqrt[3]{29\sqrt2-45}-\sqrt[3]{45+29\sqrt2}.$$

   Тогда

   $$x^3=(29\sqrt2-45)-(45+29\sqrt2)-3\sqrt[3]{(29\sqrt2-45)(45+29\sqrt2)}\cdot x.$$

   $$x^3=-90-3\sqrt[3]{1682-2025}\cdot x=-90-3\sqrt[3]{-343}\cdot x.$$

   Так как $$\sqrt[3]{-343}=-7$$, то

   $$x^3+21x+90=0.$$

   Проверим корень $$x=-6$$:

   $$(-6)^3+21\cdot(-6)+90=-216-126+90=0.$$

   Следовательно, $$x=-6$$.

3. в) Обозначим

   $$x=\sqrt[3]{38-17\sqrt5}+\sqrt[3]{38+17\sqrt5}.$$

   Тогда

   $$x^3=(38-17\sqrt5)+(38+17\sqrt5)+3\sqrt[3]{(38-17\sqrt5)(38+17\sqrt5)}\cdot x.$$

   $$x^3=76+3\sqrt[3]{1444-1445}\cdot x=76-3x.$$

   Получаем

   $$x^3+3x-76=0.$$

   Проверим корень $$x=4$$:

   $$4^3+3\cdot4-76=64+12-76=0.$$

   Значит, $$x=4$$.

4. г) Пусть

   $$x=\sqrt[3]{170+78\sqrt3}-\sqrt[3]{78\sqrt3-170}.$$

   Тогда

   $$x^3=(170+78\sqrt3)-(78\sqrt3-170)-3\sqrt[3]{(170+78\sqrt3)(78\sqrt3-170)}\cdot x.$$

   $$x^3=340-3\sqrt[3]{18252-28900}\cdot x=340-3\sqrt[3]{-10648}\cdot x.$$

   Так как $$\sqrt[3]{-10648}=-22$$, получаем

   $$x^3-66x-340=0.$$

   Проверим корень $$x=10$$:

   $$10^3-66\cdot10-340=1000-660-340=0.$$

   Следовательно, $$x=10$$.

Ответ

а) $$4$$; б) $$-6$$; в) $$4$$; г) $$10$$.