Упр.6.10 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Вычислите: 6.10 а) корень 4 степени (6+2корень 5)* корень 4 степени (6-2 корня 5); б) корень 5 степени (6-2 корень 17) * корень 5 степени (6+2 корень 17); в) корень 3 степени (8-корень 37)* корень 3 степени (8+корень 37); г) корень 3 степени (корень 17+3)*корень 3 степени (корень 17-3)

Подробный ответ

Используем формулу $$\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$$ при подходящих значениях подкоренных выражений.

а)

$$ \sqrt[4]{6+2\sqrt5}\cdot \sqrt[4]{6-2\sqrt5} = \sqrt[4]{(6+2\sqrt5)(6-2\sqrt5)} $$
$$ = \sqrt[4]{36-20} = \sqrt[4]{16} = 2 $$

б)

$$ \sqrt[5]{6-2\sqrt{17}}\cdot \sqrt[5]{6+2\sqrt{17}} = \sqrt[5]{(6-2\sqrt{17})(6+2\sqrt{17})} $$
$$ = \sqrt[5]{36-68} = \sqrt[5]{-32} = -2 $$

в)

$$ \sqrt[3]{8-\sqrt{37}}\cdot \sqrt[3]{8+\sqrt{37}} = \sqrt[3]{(8-\sqrt{37})(8+\sqrt{37})} $$
$$ = \sqrt[3]{64-37} = \sqrt[3]{27} = 3 $$

г)

$$ \sqrt[3]{\sqrt{17}+3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{17}-3} = \sqrt[3]{(\sqrt{17}+3)(\sqrt{17}-3)} $$
$$ = \sqrt[3]{17-9} = \sqrt[3]{8} = 2 $$