Упр.5.9 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.9 а) y= корень (3×2-8x-3)/(x-3) — 2x; б) y= корень 4 степени (3×2-2x-1)/(1-x) — (4×2-6x-4)/(2-x).

а) Рассмотрим выражение под корнем:

$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=\frac{(3x+1)(x-3)}{x-3}=3x+1,\quad x\ne 3.$$

Тогда

$$y=\sqrt{3x+1}-2x.$$

Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$3x+1\ge 0,$$

откуда

$$x\ge -\frac13.$$

При этом обязательно $$x\ne 3.$$

Значит, область определения:

$$x\in\left[-\frac13,\,3\right)\cup(3,\,+\infty).$$

График функции $$y=\sqrt{3x+1}-2x$$ получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ преобразованием аргумента и сдвигом вниз на $$2x$$; при построении отмечаем выколотую точку при $$x=3$$.

б) Упростим выражение под корнем четвёртой степени:

$$\frac{3x^2-2x-1}{1-x}-\frac{4x^2-6x-4}{2-x}.$$

Разложим числители на множители:

$$3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1),$$

$$4x^2-6x-4=(4x+2)(x-2).$$

Тогда

$$\frac{(3x+1)(x-1)}{1-x}-\frac{(4x+2)(x-2)}{2-x}.$$

Так как $$1-x=-(x-1)$$ и $$2-x=-(x-2),$$ получаем

$$-(3x+1)+(4x+2)=x+1.$$

Следовательно,

$$y=\sqrt[4]{x+1}.$$

Но исходное выражение имеет смысл при

$$x\ne 1,\quad x\ne 2,$$

а также

$$x+1\ge 0,$$

то есть

$$x\ge -1,\quad x\ne 1,\quad x\ne 2.$$

График функции $$y=\sqrt[4]{x+1}$$ — это график $$y=\sqrt[4]{x}$$, сдвинутый на 1 единицу влево, с выколотыми точками при $$x=1$$ и $$x=2$$.

Ответ

а) $$y=\sqrt{3x+1}-2x,\quad x\in\left[-\frac13,\,3\right)\cup(3,\,+\infty).$$

б) $$y=\sqrt[4]{x+1},\quad x\ge -1,\ x\ne 1,\ x\ne 2.$$