Упр.5.34 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.34. Исследуйте функцию и постройте ее график: а) у = корень 4х2 + 4х — 3; в) у = корень 2х2 — х — 3; б) у = корень 2 + Зх — 2х2; г) у = корень 4 — 11х — 3х2.
а) $$y=\sqrt{4x^2+4x-3}$$
Область определения:
$$4x^2+4x-3\ge 0$$
$$D=4^2-4\cdot 4\cdot(-3)=16+48=64$$
$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 8}{8}$$
$$x_1=-\frac32,\quad x_2=\frac12$$
Тогда
$$\left(x+\frac32\right)\left(x-\frac12\right)\ge 0$$
$$x\le -\frac32 \quad \text{или} \quad x\ge \frac12$$
Производная:
$$y’=\frac{8x+4}{2\sqrt{4x^2+4x-3}}=\frac{4x+2}{\sqrt{4x^2+4x-3}}$$
Так как знаменатель положителен на области определения, то
$$y’=0 \iff 4x+2=0 \iff x=-\frac12$$
Но $$x=-\frac12$$ не принадлежит области определения, значит, на каждом из промежутков области определения функция возрастает.
Минимум достигается в концах области определения:
$$y\left(-\frac32\right)=0,\quad y\left(\frac12\right)=0$$
Следовательно, график состоит из двух ветвей, выходящих из точек $$\left(-\frac32,0\right)$$ и $$\left(\frac12,0\right)$$.
б) $$y=\sqrt{2+3x-2x^2}$$
Область определения:
$$2+3x-2x^2\ge 0$$
$$2x^2-3x-2\le 0$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25$$
$$x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}$$
$$x_1=-\frac12,\quad x_2=2$$
Тогда
$$\left(x+\frac12\right)(x-2)\le 0$$
$$-\frac12\le x\le 2$$
Производная:
$$y’=\frac{3-4x}{2\sqrt{2+3x-2x^2}}$$
Критическая точка:
$$3-4x=0 \iff x=\frac34$$
Значит, функция возрастает при $$x\le \frac34$$ и убывает при $$x\ge \frac34$$ на области определения.
Максимум:
$$y_{\max}=y\left(\frac34\right)=\sqrt{2+\frac94-\frac98}=\sqrt{\frac{25}{8}}=\frac{5}{2\sqrt2}$$
Минимум:
$$y\left(-\frac12\right)=0,\quad y(2)=0$$
в) $$y=\sqrt{2x^2-x-3}$$
Область определения:
$$2x^2-x-3\ge 0$$
$$D=1+24=25$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4}$$
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac32$$
Тогда
$$\left(x+1\right)\left(x-\frac32\right)\ge 0$$
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge \frac32$$
Производная:
$$y’=\frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2-x-3}}$$
Критическая точка:
$$4x-1=0 \iff x=\frac14$$
Она не принадлежит области определения, значит, на каждом промежутке области определения функция возрастает.
Минимум:
$$y(-1)=0,\quad y\left(\frac32\right)=0$$
г) $$y=\sqrt{4-11x-3x^2}$$
Область определения:
$$4-11x-3x^2\ge 0$$
$$3x^2+11x-4\le 0$$
$$D=11^2+4\cdot 3\cdot 4=121+48=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-11\pm 13}{6}$$
$$x_1=-4,\quad x_2=\frac13$$
Тогда
$$\left(x+4\right)\left(x-\frac13\right)\le 0$$
$$-4\le x\le \frac13$$
Производная:
$$y’=\frac{-11-6x}{2\sqrt{4-11x-3x^2}}$$
Критическая точка:
$$-11-6x=0 \iff x=-\frac{11}{6}$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\le -\frac{11}{6}$$ и убывает при $$x\ge -\frac{11}{6}$$ на области определения.
Максимум:
$$y_{\max}=y\left(-\frac{11}{6}\right)=\sqrt{4+\frac{121}{6}-\frac{121}{12}}=\sqrt{\frac{169}{12}}=\frac{13}{2\sqrt3}$$
Минимум:
$$y(-4)=0,\quad y\left(\frac13\right)=0$$
Ответ
а) $$D=\left(-\infty,-\frac32\right]\cup\left[\frac12,\infty\right),\quad y_{\min}=0,\quad y_{\max}\text{ не существует}$$;
б) $$D=\left[-\frac12,2\right],\quad y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\frac{5}{2\sqrt2}$$;
в) $$D=\left(-\infty,-1\right]\cup\left[\frac32,\infty\right),\quad y_{\min}=0,\quad y_{\max}\text{ не существует}$$;
г) $$D=\left[-4,\frac13\right],\quad y_{\min}=0,\quad y_{\max}=\frac{13}{2\sqrt3}$$.
