Упр.5.32 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.32 Постройте и прочитайте график функции: а) у= система 2×2, если x < 1, (корень 4 степени x)+1, если x больше или равно 1; б) y= система корень 5 степени x+1,если x < 0, 2x2+1,если x больше или равно 0; в) y= система 3/x, если x < 0, 2 корень 3 степени x ,если x больше или равно 0; г) y= cистема 2cosx, если x < 0, 2- корень 3 степени x, если x больше или равно 0.

Подробный ответ

а) $$y=\begin{cases}2x^2, & x<1,\\ \sqrt[4]{x}+1, & x\ge 1.\end{cases}$$
Для левой части возьмём несколько точек параболы $$y=2x^2$$: $$(-2;8),\ (0;0),\ (1;2).$$
Для правой части построим график функции $$y=\sqrt[4]{x}+1$$. При $$x=1$$ получаем $$y=2$$, значит точка $$ (1;2) $$ принадлежит графику.
График состоит из ветви параболы при $$x<1$$ и графика $$y=\sqrt[4]{x}+1$$ при $$x\ge 1$$, они соединяются в точке $$ (1;2) $$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty),$$ $$E(f)=[0;+\infty).$$
б) $$y=\begin{cases}\sqrt[5]{x+1}, & x<0,\\ 2x^2+1, & x\ge 0.\end{cases}$$
Для правой части строим параболу $$y=2x^2+1$$. Удобные точки: $$ (0;1),\ (1;3),\ (2;9).$$
Для левой части строим график $$y=\sqrt[5]{x+1}$$. Удобные точки: $$(-2;-1),\ (-1;0),\ (0;1).$$
График функции составлен из двух частей и проходит через точку $$ (0;1) $$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, возрастает на $$(-\infty;+\infty),$$ $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
в) $$y=\begin{cases}\dfrac{3}{x}, & x<0,\\ 2\sqrt[3]{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
Для левой части строим гиперболу $$y=\dfrac{3}{x}$$ при $$x<0$$. Удобные точки: $$(-3;-1),\ (-1;-3).$$
Для правой части строим график $$y=2\sqrt[3]{x}$$. Удобные точки: $$ (0;0),\ (1;2),\ (8;4).$$
График состоит из ветви гиперболы слева и графика корня кубического справа; обе части сходятся к началу координат.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$[0;+\infty),$$ имеет вертикальную асимптоту $$x=0$$, $$E(f)=(-\infty;+\infty).$$
г) $$y=\begin{cases}2\cos x, & x<0,\\ 2-\sqrt[3]{x}, & x\ge 0.\end{cases}$$
Для левой части строим график $$y=2\cos x$$. Удобные точки: $$(-\pi;-2),\ \left(-\dfrac{\pi}{2};0\right),\ (0;2).$$
Для правой части строим график $$y=2-\sqrt[3]{x}$$. Удобные точки: $$ (0;2),\ (1;1),\ (8;0).$$
График функции состоит из левой части косинусоиды и правой убывающей ветви, соединённых в точке $$ (0;2) $$.
Свойства: $$D(f)=(-\infty;+\infty),$$ функция ни чётная, ни нечётная, возрастает на интервалах $$\left(\pi-2\pi n;\,2\pi-2\pi n\right)$$ и убывает на интервалах $$\left(-2\pi n;\,\pi-2\pi n\right)\cup(0;+\infty),$$ где $$n\in\mathbb N,$$ $$E(f)=(-\infty;2].$$