Упр.5.30 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: Определите число решений системы уравнений: 5.30 а) система y= корень 4 степени x, 2x-3y=6; б) система y= корень 3 степени x, 3y-4x=0; в) система y= корень 5 степени x, 6-2x-3y=0; г) система y= корень 6 степени x 5+x-2y=0;

1. а) $$\begin{cases} y=\sqrt[4]{x} \\ 2x-3y=6 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$2x-3y=6 \Rightarrow y=\frac{2}{3}x-2.$$

   График функции $$y=\sqrt[4]{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, а прямая $$y=\frac{2}{3}x-2$$ пересекает его в одной точке. Значит, система имеет 1 решение.

2. б) $$\begin{cases} y=\sqrt[3]{x} \\ 3y-4x=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$3y-4x=0 \Rightarrow y=\frac{4}{3}x.$$

   Графики $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=\frac{4}{3}x$$ пересекаются в трёх точках. Следовательно, система имеет 3 решения.

3. в) $$\begin{cases} y=\sqrt[5]{x} \\ 6-2x-3y=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$6-2x-3y=0 \Rightarrow y=2-\frac{2}{3}x.$$

   Графики $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=2-\frac{2}{3}x$$ имеют одну общую точку. Значит, система имеет 1 решение.

4. г) $$\begin{cases} y=\sqrt[6]{x} \\ 5+x-2y=0 \end{cases}$$

   Из второго уравнения:

   $$5+x-2y=0 \Rightarrow y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}.$$

   Так как $$y=\sqrt[6]{x}\ge 0$$ при $$x\ge 0$$, а прямая $$y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$$ лежит выше графика корня и не пересекает его, система не имеет решений.

Ответ

а) 1 решение; б) 3 решения; в) 1 решение; г) 0 решений.