Упр.5.29 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.29 Решите неравенство: а) корень 4 степени x+9 больше x-5; б) 2 корень 5 степени x больше или равно 5-3x; в) корень -x меньше или равно x+6; г) корень 3 степени x-7 меньше 3x+1.
а) $$\sqrt[4]{x+9}>x-5.$$
Область определения: $$x+9\ge 0,$$ то есть $$x\ge -9.$$
Рассмотрим точки пересечения графиков $$y=\sqrt[4]{x+9}$$ и $$y=x-5.$$
При $$x=7$$ получаем:
$$\sqrt[4]{7+9}= \sqrt[4]{16}=2,\qquad 7-5=2.$$
Значит, графики пересекаются в точке $$x=7.$$
Так как функция $$y=\sqrt[4]{x+9}$$ возрастает медленнее, чем прямая $$y=x-5,$$ то неравенство выполняется левее точки пересечения:
$$x\in[-9;7).$$
б) $$2\sqrt[5]{x}\ge 5-3x.$$
Рассмотрим функции $$y=2\sqrt[5]{x}$$ и $$y=5-3x.$$
Точка их пересечения находится при $$x=1$$:
$$2\sqrt[5]{1}=2,\qquad 5-3\cdot 1=2.$$
Левая часть неравенства не меньше правой при $$x\ge 1.$$
Следовательно,
$$x\in[1;+\infty).$$
в) $$\sqrt{-x}\le x+6.$$
Область определения: $$-x\ge 0,$$ значит $$x\le 0.$$
Найдём точку пересечения графиков $$y=\sqrt{-x}$$ и $$y=x+6.$$
При $$x=-4$$:
$$\sqrt{-(-4)}=2,\qquad -4+6=2.$$
На промежутке от $$-4$$ до $$0$$ неравенство выполняется.
Итак,
$$x\in[-4;0].$$
г) $$\sqrt[3]{x-7}<3x+1.$$
Рассмотрим функции $$y=\sqrt[3]{x-7}$$ и $$y=3x+1.$$
Точка пересечения:
$$x=-1,\qquad \sqrt[3]{-1-7}=\sqrt[3]{-8}=-2,\qquad 3\cdot(-1)+1=-2.$$
Так как функция $$y=\sqrt[3]{x-7}$$ возрастает, а прямая $$y=3x+1$$ имеет больший наклон, то неравенство выполняется при $$x>-1.$$
Следовательно,
$$x\in(-1;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in[-9;7)$$; б) $$x\in[1;+\infty)$$; в) $$x\in[-4;0]$$; г) $$x\in(-1;+\infty).$$
