Упр.5.26 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.26. Найдите, если это возможно, наименьшее и (или) наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции: а) у = корень 4 степени 16 + 4х — 4х2; в) у = корень 6 степени 3х2 — 6х — 4; б) у = корент 5 степени х2 — 4х + 35; г) у — корень 3 степени 1 — х2 + 6х.

1. а) $$y=\sqrt[4]{16+4x-4x^2}$$

   Рассмотрим подкоренное выражение:

   $$f(x)=16+4x-4x^2$$

   Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдём её вершину:

   $$x_0=\frac{-4}{2\cdot(-4)}=\frac12$$

   $$f\!\left(\frac12\right)=16+4\cdot\frac12-4\cdot\left(\frac12\right)^2=16+2-1=17$$

   Значит, наибольшее значение функции $$y$$ равно

   $$\sqrt[4]{17}$$

   Так как $$\sqrt[4]{16}=2$$, а $$\sqrt[4]{17}>2$$, то наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции, равно $$2$$.

   Наименьшего целого числа нет, так как $$y\ge 0$$ и $$0$$ достигается при $$16+4x-4x^2=0$$.

2. б) $$y=\sqrt[5]{x^2-4x+35}$$

   Рассмотрим подкоренное выражение:

   $$f(x)=x^2-4x+35$$

   Приведём к квадрату двучлена:

   $$f(x)=(x-2)^2+31$$

   Минимум достигается при $$x=2$$:

   $$f_{\min}=31$$

   Тогда

   $$y_{\min}=\sqrt[5]{31}$$

   Так как $$\sqrt[5]{31}<2$$, а $$\sqrt[5]{32}=2$$, то наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции, равно $$1$$.

   Наименьшего целого числа нет.

3. в) $$y=\sqrt[6]{3x^2-6x-4}$$

   Рассмотрим подкоренное выражение:

   $$f(x)=3x^2-6x-4=3(x-1)^2-7$$

   Минимум достигается при $$x=1$$:

   $$f_{\min}=-7$$

   Но для существования шестого корня нужно $$f(x)\ge 0$$. Найдём, когда подкоренное выражение неотрицательно:

   $$3x^2-6x-4\ge 0$$

   При этом наименьшее возможное значение $$y$$ равно $$0$$, так как при $$f(x)=0$$ имеем

   $$y=\sqrt[6]{0}=0$$

   Наибольшего целого числа нет, поскольку область значений не ограничена сверху.

4. г) $$y=\sqrt[3]{1-x^2+6x}$$

   Рассмотрим подкоренное выражение:

   $$f(x)=1-x^2+6x=10-(x-3)^2$$

   Максимум достигается при $$x=3$$:

   $$f_{\max}=10$$

   Тогда

   $$y_{\max}=\sqrt[3]{10}$$

   Так как $$\sqrt[3]{8}=2$$, а $$\sqrt[3]{10}>2$$, то наибольшее целое число, принадлежащее области значений функции, равно $$2$$.

   Наименьшего целого числа нет, так как кубический корень принимает сколь угодно малые значения.

Ответ

а) $$2$$; б) $$1$$; в) $$0$$; г) $$2$$.