Упр.5.25 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.25. а) у = корень 35 + 2х — х2; в) у = корень 4 степени 12 — 4х — х2; б) y = корень 6 степени 2х2 — 4х — 1; г) y = корень 8 степени х2 + 2х + 3.
а) $$y=\sqrt{35+2x-x^2}$$
Найдём наибольшее значение подкоренного выражения:
$$35+2x-x^2=36-(x-1)^2$$
Так как $$ (x-1)^2 \ge 0 $$, то
$$35+2x-x^2 \le 36.$$
Минимальное значение корня равно $$0$$, а максимальное:
$$y_{\max}=\sqrt{36}=6.$$
Следовательно,
$$E(y)=[0;6].$$
б) $$y=\sqrt[6]{2x^2-4x-1}$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$2x^2-4x-1=2(x-1)^2-3.$$
Так как $$ (x-1)^2 \ge 0 $$, то
$$2x^2-4x-1 \ge -3.$$
Но для существования шестого корня нужно
$$2x^2-4x-1 \ge 0.$$
Минимум выражения достигается при $$x=1$$:
$$2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3,$$
поэтому наименьшее возможное значение корня равно $$0$$, а сверху ограничений нет.
$$E(y)=[0;+\infty).$$
в) $$y=\sqrt[4]{12-4x-x^2}$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$12-4x-x^2=16-(x+2)^2.$$
Так как $$ (x+2)^2 \ge 0 $$, то
$$12-4x-x^2 \le 16.$$
Максимальное значение корня:
$$y_{\max}=\sqrt[4]{16}=2.$$
Минимальное значение равно $$0$$.
$$E(y)=[0;2].$$
г) $$y=\sqrt[8]{x^2+2x+3}$$
Преобразуем подкоренное выражение:
$$x^2+2x+3=(x+1)^2+2.$$
Так как $$ (x+1)^2 \ge 0 $$, то
$$x^2+2x+3 \ge 2.$$
Минимальное значение корня:
$$y_{\min}=\sqrt[8]{2}.$$
Сверху функция не ограничена.
$$E(y)=[\sqrt[8]{2};+\infty).$$
Ответ
а) $$[0;6]$$; б) $$[0;+\infty)$$; в) $$[0;2]$$; г) $$[\sqrt[8]{2};+\infty)$$.
