Упр.5.21 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.21. Найдите наименьшее значение функции: а) у = корень 4 степени x2 — 6х + 8; б) у = корень 6 степени x2 + 6х + 13.

а) $$y=\sqrt[4]{x^2-6x+8}$$

Рассмотрим подкоренное выражение:

$$x^2-6x+8=(x-3)^2-1.$$

Минимум квадрата достигается при $$x=3$$, тогда

$$x^2-6x+8=9-18+8=-1.$$

Но подкоренное выражение для четвёртого корня должно быть неотрицательным, значит ищем наименьшее допустимое значение. Решим неравенство:

$$x^2-6x+8\ge 0$$

$$ (x-2)(x-4)\ge 0.$$

Отсюда $$x\le 2$$ или $$x\ge 4$$. На границах области определения подкоренное выражение равно нулю:

$$x=2 \Rightarrow y=\sqrt[4]{0}=0,$$

$$x=4 \Rightarrow y=\sqrt[4]{0}=0.$$

Так как $$y\ge 0$$, наименьшее значение функции равно $$0$$.

б) $$y=\sqrt[6]{x^2+6x+13}$$

Рассмотрим подкоренное выражение:

$$x^2+6x+13=(x+3)^2+4.$$

Так как $$ (x+3)^2\ge 0,$$ то

$$x^2+6x+13\ge 4,$$

и равенство достигается при $$x=-3.$$ Тогда

$$y_{\min}=\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}.$$

Ответ

а) $$0$$; б) $$\sqrt[3]{2}$$.