Упр.5.20 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = корень 5 степени х: а) на отрезке [-1; 1]; в) на отрезке [-32; 32]; б) на луче (-оо; 1]; г) на луче [2; +оо).

Функция $$y=\sqrt[5]{x}$$ определена при всех $$x\in\mathbb{R}$$ и является возрастающей. Значит, на отрезке наименьшее значение достигается в левом конце, а наибольшее — в правом.

1. На отрезке $$[-1;1]$$:

   $$y(-1)=\sqrt[5]{-1}=-1,$$

   $$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1.$$

2. На луче $$(-\infty;1]$$ функция возрастает, поэтому наибольшее значение достигается при $$x=1$$:

   $$y(1)=\sqrt[5]{1}=1.$$

   Наименьшего значения на этом луче нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение $$y=\sqrt[5]{x}\to -\infty.$$

3. На отрезке $$[-32;32]$$:

   $$y(-32)=\sqrt[5]{-32}=-2,$$

   $$y(32)=\sqrt[5]{32}=2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2.$$

4. На луче $$[2;+\infty)$$ функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается при $$x=2$$:

   $$y(2)=\sqrt[5]{2}.$$

   Наибольшего значения на этом луче нет, так как при $$x\to +\infty$$ значение $$y=\sqrt[5]{x}\to +\infty.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=1$$;

б) $$y_{\min}$$ не существует, $$y_{\max}=1$$;

в) $$y_{\min}=-2,$$ $$y_{\max}=2$$;

г) $$y_{\min}=\sqrt[5]{2},$$ $$y_{\max}$$ не существует.