Упр.5.19 ГДЗ Мордковича 11 класс профильный уровень (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 11 класс, Мнемозина: 5.19. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции У = корень 4 степени x: а) на отрезке [0; 1]; в) на отрезке [5; 16]; б) на полуинтервале [1; 3);г) на луче [16; +оо).
Функция $$y=\sqrt[4]{x}$$ определена при $$x\ge 0$$ и на всей области определения монотонно возрастает. Поэтому на каждом промежутке наименьшее значение достигается в левой границе, а наибольшее — в правой, если она входит в промежуток.
а) На отрезке $$[0;1]$$:
$$y(0)=\sqrt[4]{0}=0,$$
$$y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
Следовательно, $$y_{\min}=0,$$ $$y_{\max}=1.$$
б) На полуинтервале $$[1;3)$$:
$$y(1)=\sqrt[4]{1}=1.$$
Наибольшее значение не существует, так как точка $$x=3$$ не входит в промежуток.
Следовательно, $$y_{\min}=1,$$ наибольшего значения нет.
в) На отрезке $$[5;16]$$:
$$y(5)=\sqrt[4]{5},$$
$$y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
Следовательно, $$y_{\min}=\sqrt[4]{5},$$ $$y_{\max}=2.$$
г) На луче $$[16;+\infty)$$:
$$y(16)=\sqrt[4]{16}=2.$$
Функция возрастает, поэтому наименьшее значение достигается в точке $$x=16$$, а наибольшего значения нет.
Следовательно, $$y_{\min}=2,$$ наибольшего значения нет.
Ответ
а) $$y_{\min}=0,\ y_{\max}=1$$; б) $$y_{\min}=1,$$ наибольшего значения нет; в) $$y_{\min}=\sqrt[4]{5},\ y_{\max}=2$$; г) $$y_{\min}=2,$$ наибольшего значения нет.
